绝对值函数最值问题一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？先来证明一个引理：引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。

将上式的y y -换成可得||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时()123||||||fx x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12n x a +=时有最小值，即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112)||||n n n x a x a f a -+⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭当n 为偶数时()123||||||fx x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有最小值。

此时()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11)22||||n n n n x a x a f a o rf a -+⎛⎫⎛⎫+-+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。

二、求下列函数的最小值：1、()|2||1|-+-=x x x f()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x也即是[]2,1∈x 时等号成立。

1)(≥∴x f2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f()()[]时等号成立。

当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题）对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。

()[)[)[)[)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∞-∈---∈+-∈++∞∈+=2,130,231,03,113x x x x x x x x x f 由函数解析式易得函数()x f 的单调递增区间为[)+∞,0其函数图象如下：3、 ()|124||63||22|-+-+-=x x x x f()|3|4|2|3|1|2|124||63||22|-+-+-=-+-+-=x x x x x x x f由定理可知，当x 取1,1,2,2,2,3,3,3,3的中位数时，函数有最小值，也即是x=2时，()()6422min =+==f x f4、()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f （北京高考试题） ()|19||3||2||1|-+⋯⋯+-+-+-=x x x x x f由定理可知，当x 取1,2,3……19的中位数时，函数有最小值，也即是x=10时，()()9010min ==f x f5、 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。

若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点)22(，-，)13(，，)43(，，)32(，-，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点（除零售点外）__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. （09年上海高考）(),|2||2||3||1||3||4||2||3||4||5||6||6|2||2||3|1||2||3||4||5||6||3||4||6|||x x x x fx y x y x y x y x y x y x y y y x x y y y y =++-+-+-+-+-+++-+-+-+-+-=+++++-+-+--++-+-+-+-+--由于,x y 的取值互不影响，相互独立，故只需找出两列数的中位数即可所以()m in ,f x y =()|2||2||3||3||4||6|m in x x x x x x ++++-+-+-+-()|1||2||3||4||5||6|m in y y y y y y -+-+-+-+-+-+ ()()3,33,4fo r f=三、 ()|12011||13||12||1|-⋯⋯+-+-+-=x x x x x f （11年卓越联盟自主招生试题） 解析：()|1||21||31||20111|111|1|2||3||2011||232011fx x x x x x x x x =-+-+-+⋯⋯-=-+-+-+⋯⋯+-，故只需找出下列数的中位数即可： 2011111221113331111444411112011201120112011g e…^^^^^^……共有()12011201120230662+⨯=个数，所以中位数应该是第20230662023066122+与第的平均数，由以上结论可知，当x 取20230662023066+122第或者第数的值时，函数有最小值（在此我们去前者）。

因为每一行的数值都相同，所以要找中位数，只需找出中位数所在的行数即可。

不妨设中位数为第n 行的最后一个数为20230662第数，则()1202306622n n +=，解得1421.8n ≈，所以中位数介于第1421行最后一个数与第1422行最后一个数之间。

所以该数位于第1422行，取1422n = 所以当11422x =时有最小值此时m in 1123()()(1)(1)(1)1422142214221422f x f ==-+-+-1422142314242011(1)(1)(1)(1)1422142214221422+-+-+-+-…+?…11840864918321422711==四、求方程1210272611=+-+++-+x x x x 的实根的个数（12年北约自招试题）解析：()22116222323|23|x x x x x +-+=+-⨯++=+- ()222710222525|25|x x x x x +-+=+-⨯++=+-则1210272611=+-+++-+x x x x 可化为|23||25|1x x +-++-=由以上结论可知|23||25|21x x +-++-≥≠，所以原方程无解。

五、实数a 使得不等式2|23||2|a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合 （06莫斯科大学入学考试题）解析：设()|2||32|f x x a x a =-+-，要使得不等式2|23||2|a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，只需()2m infx a ≥()2|2||32|2||3||23a a f x x a x a x x =-+-=-+-，无论00a a >≤或者，显然中位数为23a ，所以()m in233a a fx f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以21033a a a ≥⇒≥≥六、求|y ||x ||1-y -2x |++的最小值 9.1、求|y ||y x ||1-y -2x |+++的最小值9.2、求|y 2x ||y x ||1-y -2x |++++的最小值 解析： 9、1|2x -y-1||x ||y||2x -1|+|x |2++≥≥，前一个等号是把原式当作关于y 的一个函数f(y)，把x 作为常量，先找y的中位数，显然021y x -取或者时有最小值，带入后得到关于x 的一个函数g(x)，按照上述方法，再找x 的中位数,即是21=x 时有最小值，带入即可。

9.1、y+13y+11|2x -y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|223+++≥≥，当且仅当12,33y x ==时等号成立。

鉴于找y 的中位数需要讨论，我们先找x 的中位数，也就是把y 当做常量，x 作为变量，此时中位数为y +12，所以y+13y+1|2x -y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|22+++≥，这样就转化成只含一个变量的绝对值函数最值问题，再求3y+1||+|y|2的最小值，此时关于y 的零点的中位数为13-，所以y+13y+11|2x -y-1||x y||y||+y|+|y|=||+|y|223+++≥≥，当且仅当12,33y x ==时等号成立。

9.2、我们很容易发现无论把x 作为变量还是把y 作为变量，其零点的中位数都需要分类讨论，在此通过换元转化为我们所熟悉的||||||a u b v c u v ++++的形式即是第九题的形式。

设,2134122u x yx v u x y v u v x y y u v =+=-⎧⎧⇒--=--⎨⎨=+=-⎩⎩原式转化为求函数|341|||||v u u v --++的最小值 因为411|341|||||||||34u v u u v u +--++≥+≥，当1,04u v =-=等号成立所以1|2x -y-1||x y||2x y|4++++≥，当11,42x y ==-时等号成立练习题：求|366||23||325|+-++++-+y x y x y x 的最小值|323||122||32|--+--+-+y x y x y x33323123|1|23224x y y y x y y y ⎛⎫-++-+--≥-+--- ⎪⎝⎭19|1|24y y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭74≥，当且仅当y=1,x=34时等号成立。