第12章 机械振动 习题及答案1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？ （1）a =8x ；（2）a =12x 2 ；(3) a =−24x ；(4)a =−2x 2 .答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。

对于简谐振动，有a =−ω02x ,故（3）表示简谐振动。

2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的1/2时，下列哪些物理量发生了变化？变化为原来的多少倍？（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。

解：当 A ′=12A 时，（1）劲度系数k 不变。

（2）频率不变。

（3）总机械能 E ′=12kA ‘2=14E（4）最大速度 V ’=−A ′ω0sin(ω0t +φ)∴ V m ′=−A ′ω=12V m (5) 最大加速度 a′=−A′ω02cos(ω0t +φ)∴ a m ′=−A′ω02=12a m3、劲度系数为1k 和2k 的两根弹簧，与质量为m 的小球按题图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有21F F F ==，设串联弹簧的等效倔强系数为串K 等效位移为x ，则有111x k F x k F -=-=串222x k F -=又有 21x x x +=2211k F k F k Fx +==串 所以串联弹簧的等效倔强系数为2121k k k k k +=串即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为)/(2121k k k k k +=的弹簧振子系统，故小球作谐振动．其振动周期为2121)(222k k k k m k mT +===ππωπ串 (2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有21F F F ==，即21x x x ==，设并联弹簧的倔强系数为并k ，则有 2211x k x k x k +=并 故 21k k k +=并 同上理，其振动周期为212k k mT +='π4. 完全相同的弹簧振子，t =0 时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？解：对于弹簧振子，t =0时，x =A cos φ ,v =−Asinφ （a ） x =x max ,故 cos φ=1v =0 ，故 sinφ=0 ∴ φ=0 （b ）x =0 ，故 cosφ=0v <0 ，故 sinφ>0 ∴ φ=π2（c ）x =0 ，故 cosφ=0kmx =x max(a)km vx =0(b)km vx =0(c)kmx =−x max (d)v >0 ，故 sinφ<0 ∴ φ=3π2（d ）x =−x max ,故 cos φ=−1v =0 ，故 sinφ=0 ∴ φ=π5、如图所示，物体的质量为m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，弹簧的倔强系数为k ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R 。

先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．解：分别以物体m 和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x 时，有221d d sin t xm T mg =-θ ①βI R T R T =-21 ②βR tx=22d d )(02x x k T += ③ 式中k mg x /sin 0θ=，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kxR txR I mR -=+22d d )(令 ImR kR +=222ω则有0d d 222=+x txω 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为)/2(22222K R I m kRI mR T +=+==ππωπ6、质量为kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()328cos(1.0ππ+=x 的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等? 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：3/2,s 412,8,m 1.00πφωππω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅2.632==A a m ω2s m -⋅(2) N 63.0==m m ma FJ 1016.32122-⨯==m mv E 当p k E E =时，有p E E 2=， 即)21(212122kA kx ⋅= ∴ m 20222±=±=A x 7、一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：(1)A x -=0；(2)过平衡位置向正向运动； (3)过2Ax =处向负向运动； (4)过2A x -=处向正向运动．试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ⎩⎨⎧-==0000sin cos φωφA v A x将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1πππφ+==t T A x)232cos(232πππφ+==t T A x)32cos(33πππφ+==t T A x)452cos(454πππφ+==t T A x8. 物体沿x 轴作简谐振动，在t =0时刻，其坐标为x 0=−8.50 cm ,速度v 0=−0.92 cm/s ,加速度a 0=47 m/s 2 ,试求：（1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。

解：设x =Acos(ω0t +φ) ，则t =0时x 0=Acosφ ，v 0=−Aω0sinφa 0=−Aω02cosφ=−ω02x 0(1)ω0=√−a 0x 0=√−47.0−0.085=23.5 rad/s T =2πω0=2×3.1423.5=0.27 s (2)5.85.230092.0085.0222202020=+=+=ωv x A cm 00461.0)085.0(5.230092.0tan 000-=-⨯--=-=x v ωϕ01.95=ϕ9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。

当质点1在x 1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在x 2=−A/2 处，且向右运动。

求这两个质点的相位差。

解：由旋转矢量图可知，当质点1在x 1=A/2处，且向左运动时，相位为π/3； 而质点2在x 2=−A/2处，且向右运动，相位为4π/3（如图）。

所以他们的相位差为π。

10、一质量为kg 10103-⨯的物体作谐振动，振幅为cm 24，周期为s 0.4，当0=t 时位移为cm 24+．求：(1)s 5.0=t 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到cm 12=x 处所需的最短时间； (3)在cm 12=x 处物体的总能量．解：由题已知 s 0.4,m 10242=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππωT又，0=t 时，0,00=∴+=φA x 故振动方程为m )5.0cos(10242t x π-⨯=(1)将s 5.0=t 代入得0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x πN102.417.0)2(10103232--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=πωxm ma F方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=φ，t t =时 3,0,20πφ=<+=t v A x 故且 ∴ s 322/3==∆=ππωφt(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222--⨯=⨯⨯⨯===πωA m kA E 11、图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．解：由题图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a 由题图(b)∵0=t 时，35,0,2000πφ=∴>=v A x 1=t 时，22,0,0111ππφ+=∴<=v x又 ππωφ253511=+⨯=∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=12、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为10 cm ，当物块离开平衡位置6 cm 时，速度为24 cm/s 。

问：（1）此简谐振动的周期是多少？（2）物块速度为±12 cm/s 时的位移是多少？ 解：设x =Acos(ω0t +φ)，已知A =10 cm ，故 x =10cos(ω0t +φ) ,v =−10ω0sin(ω0t +φ)∴ x 2100+v 2100ω02=1 (1)当x =6 cm ，v =24 cm/sω0=√v 2100−x 2=√242100−62=3 rad/s T =2πω0=2×3.143=2.09 s （2）当v =±12 cm/s 时x =±√100−v 2ω02=±√100−12232=±9.16 cm13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为a ，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入部分高度为b ，然后放手任其运动。

试证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并求出振动周期和振幅。

解：设木块质量为m ，底面积为S ，水的密度为ρ水，木块受到重力mg ⃑ 和浮力 f ⃑. 平衡时，mg =f =ρ水gSa ,以水面上某点为原点，向上为x 轴建立坐标系，则当木块在图示位置时，合力为F =f −mg =ρ水gS |b |−ρ水gS |a |=−ρ水gSx由牛顿第二定律 F =ma =m d 2x dt 2故 md 2x dt 2=−ρ水gSx∴ d 2x dt 2+ρ水gSxmx =0可见，木块作简谐振动，振幅为b −a ，ω0=√ρ水gS m ⁄， T =2π√m ρ水gS ⁄=2π√a g ⁄14、有一单摆，摆长m 0.1=l ，摆球质量kg 10103-⨯=m ，当摆球处在平衡位置时，若给小球一水平向右的冲量14s m kg 100.1--⋅⋅⨯=∆t F ，取打击时刻为计时起点)0(=t ，求振动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有0-=∆⋅mv t F∴ 1-34s m 01.01010100.1⋅=⨯⨯=∆⋅=--m t F v按题设计时起点，并设向右为x 轴正向，则知0=t 时，100s m 01.0,0-⋅==v x ＞0 ∴2/30πφ=xbamg ⃑f⃑ OSx又 1s rad 13.30.18.9-⋅===l g ω ∴ m 102.313.301.0)(302020-⨯===+=ωωv v x A 故其角振幅rad 102.33-⨯==ΘlA小球的振动方程为rad )2313.3cos(102.33πθ+⨯=-t15、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为m 20.0，位相与第一振动的位相差为6π，已知第一振动的振幅为m 173.0，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的位相差．解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知01.02/32.0173.02)2.0()173.0(30cos 222122122=⨯⨯⨯-+=︒-+=A A A A A ∴ m 1.02=A 设角θ为O AA 1，则θcos 22122212A A A A A -+=即 01.0173.02)02.0()1.0()173.0(2cos 2222122221=⨯⨯-+=-+=A A A A A θ 即2πθ=，这说明，1A 与2A 间夹角为2π，即二振动的位相差为2π. 16、已知两简谐振动的振动方程分别为x 1=5cos (10t +34)π cm 和 x 2=6cos (10t +14π) cm ,试求其合成运动的振幅及初相。