矩阵与线性变换
1线性变换
设U与V是两个线性空间。

U到V内的一个映射σ如果满足可加性条件与齐次
性条件，则称σ是U到V的线性变换或线性映射。

U到V的线性变换全体记为Hom(U,V)（或Hom F(U,V)）。

特别地，将Hom(V,V)记为EndV，而将Hom(V,F)记为V∗，称为V的对偶空间或共轭空间。

设σ∈Hom(U,V)，则当σ作为映射是单的（或满的）时，称σ是单变换
（或满变换）；既单又满的变换称为同构。

如果存在同构σ∈Hom(U,V)，
则称U与V为是同构的线性空间，记为U∼=V。

可加性与齐次性
•r-齐次性（存在固定常数r，使得对任意的x均有f(kx)=k r f(x)），可加性
=⇒齐次性；
•如果F是有理数域，则可加性=⇒齐次性；
•对非有理数域，则可加性 齐次性；
•齐次性 可加性。

1.1线性变换的性质与构造
线性变换的性质：
•σ(0)=0,σ(−α)=−σ(α)；
•若α1,α2,···,αs线性相关，则σ(α1),σ(α2),···,σ(αs)也线性相关；
•若σ(α1),σ(α2),···,σ(αs)线性无关，则α1,α2,···,αs也线性无关。

线性变换的构造：
设α1,α2,···,αn是线性空间U中的一组基，β1,β2,···,βn是线性空间V的
任意n个向量，则唯一地存在一个线性变换σ使得σ(αj)=βj,1≤j≤n。

1
1.2特殊的线性变换
•零变换；
•恒等变换；
•位似：设k∈F，将线性空间V的任意向量α变为kα的变换σ称为（伸缩）系
数为k的位似，即σ(α)=kα。

非零位似均是自同构（V到自身的同构）；
•可逆变换。

1.3σ∈Hom(U,V)的零度与秩
σ的核，记为Ker(σ)或σ−1(0)：其“零点”集{α∈U:σ(α)=0}。

σ的像，记为Im(σ)或σ(U)：其“函数值”的集合{β∈V:∃α∈U,s.t.β=
σ(α)}。

σ的零度与秩：Kerσ与Imσ分别是U与V的子空间，其维数分别记为η(σ)与r(σ)，称为σ的零度与秩。

1.4再谈单变换与满变换
设U,V是F上的线性空间，σ∈Hom(U,V)，则
•σ是单的⇐⇒Ker(σ)=0；
•σ是满的⇐⇒Im(σ)=V；
•σ是同构⇐⇒σ可逆；
•如果U=V是有限维线性空间，则σ是单的⇐⇒σ是满的⇐⇒σ可逆。

2线性变换下的坐标变换
设α1,α2,···,αn与α
1,α
2
,···,α
m
分别是线性空间U与V的基，设
σ(α1,α2,···,αn)=(α
1,α
2
,···,α
m
)A,
则A=(a ij)∈F m×n称为σ关于α−基和α −基的矩阵。

设线性变换σ∈Hom(U,V)在α−基和α −基下的矩阵为A，向量α∈U在α−基下的坐标为x，则σ(α)在α −基下的坐标为Ax。

2
3矩阵与线性变换
设V是n维线性空间，σ是V的一个线性变换。

设α1,···,αn与β1,···,βn是V的
两组基，A与B分别是σ关于该两组基的矩阵，则A与B相似。

3.1同构定理
域F上的两个线性空间U与V同构⇐⇒dim F U=dim F V。

3.2幂等变换与幂零变换
满足σ2=σ的线性变换称为幂等变换；满足σk=0的线性变换称为幂零变换（且使此式成立的最小自然数称为σ的幂零指数）。

3.3线性变换基本定理
设V是F上的n维线性空间，α1,α2,···,αn是V的一组基。

设M n(F)是F上全体n阶矩阵组成的线性空间。

对任意σ∈EndV，记A(σ)是σ在该基下的矩阵。

定
义EndV到M n(F)的映射ψ为
ψ:EndV→M n(F)
σ→A(σ)
则ψ是一个保持运算（加法、数乘、乘法）的一一映射，即满足下列条件：•A(σ+τ)=A(σ)+A(τ)；
•A(kσ)=kA(σ),∀k∈F；
•A(στ)=A(σ)A(τ)；
•σ可逆⇐⇒A(σ)是可逆，且A(σ)−1=A(σ−1)；
•A(0)=0;A(I)=I。

代数：定义了适当乘法的F线性空间称为F代数。

而保持两个代数所有运算的
映射称为同态；既单又满的同态称为同构。

EndV被称为V的自同态代数。

设U与V分别为n维与m维F线性空间，则Hom F(U,V)∼=F m×n。

特别地，V∗与V同构。

3。