(1) A B B A, A B B A
(2) A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C
(3) A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
1.1.2 二元关系与等价关系
定义1.1.2 设A、B是两个非空集合，元素对 的集合 {(a,b) | a A,b B} 称为A与B的笛
是
一个分类。
例１： Ａ＝｛５２张扑克｝ Ｒ1＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同花，ａ，ｂ是扑克｝ Ｒ2＝｛（ａ，ｂ）｜ａ与ｂ同点，ａ，ｂ是扑克｝
则
Ｒ1把Ａ分为四类同花类，
Ｒ2把Ａ分为１３类同点类。
定理1.1.2（1） 集合A上的每个等价关系R 都决定A的一个分类。 （2） 集合A的每个分类都决定A
上的一个等价关系。
合的元素。若a为集合A的元素，则a称属于A， 记为 a A ；若a不是集合A的元素，则称a
不属于A，记为 a A 。
集合表示方法
•列举法 即把一个集合的元素都列举出来
A {a1, a2 , a3}
•概括法 即把这个集合的元素所具有的特 征性质表示出来。
A {x | P(x)}
设A，B是两个集合，如果集合A的元素 都是集合B的元素，则称A为B的子集，或称
（2） 反对称性：对任意a, b A ，如果aR
且bRa，则a = b；
（3） 传递性：对任意 a,b, c A
aRb，bRc，则aRc
，如果
则称R是A上的一个偏序关系，记为“≤”。若 ≤是集合A上的一个偏序关系，则称A是关于 偏序关系≤的偏序集，记为（A ,≤ ）。
定义1.1.6” 设（A , ≤ ）是一个偏序集，如
A B {x | x A x 或B}
由既属于A又属于B的所有元素作成的
集合称为A与B的交集，记为 A B ，即 A B {x | x A且x B}
由集合的交与并运算的定义，显然有
A AB A A A AB A A A A
B AB
A A
AB B
A
定理 1.1.1 设A、B、C是三个集合,则
证明 （1） 如果R是A上的等价关系，则 A/R给出了A的一个分类。
（2） 如果 {Bi} 是A的一个分类，令 R {(x, y) | 存Bi在 ，x使得Bi , y Bi}
则R是A上的一个等价关系。
定义1.1.6’ 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意 a A ，有aRa；
a1
a2
a3
a4
Ｂ＝｛ 软件 ，硬件 ，自动化 ，遥感
b1
b2
b3
b4
C＝{工程制图，电子线路 ，操作系统 ，离散数学 ｝
c1
c2
c3
c4
则：Ｒ1＝｛（ａ1，ｂ1），（ａ1，ｂ3）， （ａ2，ｂ2），（ａ2，ｂ4）， （ａ3，ｂ3），（ａ3，ｂ4）, （ａ4，ｂ1），（ａ4，ｂ4） ｝
是选双学位专业的二元关系。
定义1.1.4 若集合A上的一个二元关系R满足
（1） 自反性：对任意a A ，有aRa；
（2） 对称性：对任意 a, b A ，如果aR
则bRa；
（3） 传递性：对任意 a, b, c A ，如
aRb，bRc，则aRc
则称R是A上的一个等价关系。
定义1.1.5 设R是A上的一个等价关系a， A
1.1 预备知识：集合·映射与数 域1.2 线性空间
1.3 基与坐标
1.4 线性子空间
1.5 线性空间的同 构1.6 内积空间
1.1 预备知识：集合·映射与数域
1.1.1 集合及其运算 1.1.2 二元关系与等价关系 1.1.3 映射 1.1.4 数域与代数运算
1.1.1 集合及其运算
集合是近代数学的最基本概念之一，它 是由具有某种性质所确定的事物的总体。根 据这种性质可以辨别任一事物属于或不属于 这个集合。属于这个集合的事物称为这个集
元素 y B 称为元素x A 在映射 f 下的像
称x为y的原像。集合A称为映射 f 的定义域。 当 A 中元素 x 改变时，x 在映射 f 下的
的全体作成 B 的一个子集，称为映射 f 的值 域，记为R(f)。
B包含A，记为 B A 或A B 。如A果 B 且 A B ，则称集合A与B相等，记为A B
含有有限个元素的集合称为有限集；否 则称为无限集。不含任何元素的集合称为空 集，记为 。为了方便，我们规定空集是任 意集合的子集。
定义1.1.1 设A，B是两个集合，由属于A或者 属于B的所有元素作成的集合称为A与B的并 集，记为 A B ，即
称 [a] {x | x A, xRa}
为a关于R的等价
A的所有元素关于R的等价类集合
A R {[a] | a A}
称为A关于R的商集。
定义1.1.6 设每个Bi (i I ) 都是集合A的非空
子集，如果 A Bi ，并且对任意i, j I
当 i j 时有BiiI B j
，则{B称i }
儿积，记作 A B ，即 A B {(a,b) | a A,b B}
定义1.1.3 设A、B是两个集合，A B 的子集
R称为 A B 中的一个二元关系，即对任意
a A b， B ，如果(a,b) R
，则
a与b有关系R，记为aRb。特别地，A A
中的二元关系简称为A上的二元关系。
例３：
Ａ＝｛张华，王兵，陈平，李兰
果对任意 a,b A ，总有a b b或 a
则称≤是集合A上的顺序关系，并称（A , ≤ ）
为序集或序空间。
1.1.3 映 射
定义1.1.7 设A、B是两个非空集合，如果存 在一个A 到B 的对应法则 f ，使得对 A中的每 一个元素 x 都有 B中唯一的一个元素 y 与之对 应，则称 f 是A到B的一个映射,记为 y f (x).
矩阵论课件课件
第1章 线性空间与内积空间 第2章 线性映射与线性变换 第3章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第8章 广义逆矩阵
第1章 线空间与内积空间
本章概述线性空间与内积空间的基本 概念和基本理论。这些概念是通常几何空 间概念的推广和抽象。在近代数学发展中， 这些概念和理论已渗透到数学的各个分支。 本章内容是学习本书的基础。