第11章 曲线积分与曲面积分
一．曲线积分
1.对弧长的曲线积分 （第一类）
典型例题：
(1)圆周10{
cos x sin ≤≤==t t a t
a y
1222
22220
2
22
2)sin'(cos'()sin cos ()(x +=++=+
⎰⎰
n n n
L
a dt t a t a t a t ds a y
ππ
）
（2）线段:把线段表示出来 ds y x ⎰
+L ）
（ L 是（1，0）到（0,1）的直线段 原式=
2
1)11
=+-+⎰dx x x x （ 直线为：y=1-x
(3)圆弧的整个边界（分段）
ds L
y ⎰+2
2x e
2)4
2(11)sin'()cos'(12
20
40
2
2
a
2
2-+
=++++⎰
⎰⎰
+a e dx e
dt t a t a e
dx e
a a
y x a
x
π
π
（4）参数方程 （公式）
（5）利用折线围成的封闭图形 （坐标分段）ds yz ⎰Γ
2
x
A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2)
AB: 0=⎰
AB
BC:0=⎰
BC
CD:90102y 130
23
2==++=⎰⎰
y dy CD
9=++=∴
⎰
⎰
⎰⎰Γ
CD
BC
AB
2.对坐标的曲线积分 （第二类）
dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x L
)(')](),([)(')](),([{),(),(P ψψΦ+ΦψΦ=+⎰⎰β
α
典型例题
（1）圆周
10{cos x sin ≤≤==t t
a t
a y
dx xy ⎰
L
圆周
)0(y x 222
>=+-a a a ）（及x 轴在一象限 逆时针{
{0
2acost a x asint
y 1:,)10(x x y L L t ==+==≤≤：
320
2
1
2
0)'cos (sin )cos 1(a a dx dt t a a t a t a
L L L
π
-
=+++=+=⎰⎰⎰
⎰
（2）直线： 写出函数关系
222x y :dx y -x =⎰
L L
，从（0,0）到（2,4）
原式=15
56
-dx x -x 2
04
2=⎰
）（ （3）圆弧
，⎰
+L
xdy ydx L: x=rcost,y=rsint 上对应t 从0到
2
π
的一段弧 （4）参数方程 （公式） （5）利用折线围成的封闭图形
⎰Γ
+ydz dy -dx ，A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) ABCA 封闭图形
=
2
112321]')1()'1([)]1(1[1
10
01
=++
-=+-+--+--=++⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
dx dz z z z dx z CA
BC
AB
二．格林公式
1.⎰⎰⎰
+=∂∂∂∂L D
Q P P
Q dy dx dx dy y
-x ）（
2.面积 ⎰=L
A ydx -xdy 21
3.曲线积分;
x
y dy pdx ∂∂=∂∂⇔
+⎰
Q P Q L
与路径无关 同上），（，dy y x dx )y x (Q P + 4.
dy dx du y x u dy dx Q P Q P L
+=⇔+⎰使）
，（存在与路径无关 dy y x Q dx y x p y x y
y x
x ⎰⎰
+=
),(),(),(u 0
典型例题
(1)的正向）（1:)3(22
22=+++-⎰
b y a x L dy
e x dx e y L
y
x
解：ab 2dx dy 23x
1y p π==∴=∂∂=∂∂⎰⎰⎰
D
L
Q
，
(2)验
证
整
个xoy
面
内
存在u （x ，y ）使
du=），（并求）（）（y x u dy ye 12y x 8x 8y x 3y
2
3
2
2
++++dx xy
解：
存在，∴+=∂∂=∂∂x y 16x 3x
y p 2Q c e y y x y x c dy ye y x x dx y y
y +-++=++++=⎰⎰)1(124)128(0y)U(x 2230
23x
，
三．曲面积分
1.对面积的曲面积分 （第一类）
典型例题
（1）球面。

的曲面部分上是其中1z z ,4122≤+=∑+⎰⎰
∑
y x ds z
解：dxdy y x y x y x D xy
D 22222
2
xy 4414411
++++=
≤+⎰⎰
⎰⎰
∑
：
=
ππθπ
32
3
2dr r r 41d 1
220
=•
=+⎰⎰
）（ （2）圆周。

按面累加
计算所围成的与平面是锥面其中）（1z ,222
2=+=
∑+⎰⎰
∑
z y x ds y x
解：锥面21
∑∑平面 投影xoy 为D ：122≤+y x
dxdy y x dxdy y x D
D
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
+++=+=∑∑∑
)(2)(22222
1
dxdy y D
）（）（22x 21++=⎰⎰
=
πθπ2
2
1d 2120
1
3
+=+⎰⎰dr r ）（ 2.对坐标的曲面积分（第二类）
ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dxdy R dzdx Q dydz P ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑
∑
∑
∑
++=++=++)cos cos cos (γβα计算 注意侧的问题 正负号
dxdy y x z y x R dxdy z y x R Dxy
⎰⎰⎰⎰=∑
)),(,,(,,）
（ yz zx 同理 典例：
1.计算
为正数下侧，是下半球面其中）（a -z ,22222222
y x a dxdy y x z y x --=∑+++⎰⎰
∑
解：dxdy y x a a
y x Dxy
⎰⎰⎰⎰
∑
+=
≤+∑2
222
2
2
x oy 投影在
=532
2
20
2
3
2
32a -a a a dr r d a
ππθπ
-=⋅⋅-=⎰
⎰
四．高斯公式
空间闭区域上具有一阶连续偏导数在，ΩΩR Q P ,,
⎰⎰⎰⎰⎰
∑
Ω
++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy
Qdzdx Pdydz dv z
R
y Q x P ）（=
ds R Q P ⎰⎰
∑
++）（γβαcos cos cos 典例：计算
为正数的上侧，为上半球面其中R y R zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰∑
=
∑++222-x -z ,
解：补上平面块⎰⎰∑=≤+=∑1
0z 2
221下侧
，：R y x
331234
213dv 31R R ππ=⋅⋅==∑∑⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑Ω围城半球体由高斯得和
⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑
∑+∑∑=
=
∴1
1
-32R π。