第八章 向量与解析几何
向量代数
定义 定义与运算的几何表达
在直角坐标系下的表示
向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=
,,x x y y z z a Prj a a Prj a a Prj a ===
模
向量a 的模记作a
a 222x y z a a a =++
和差
c a b =+ c a b =－
=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b
单位向量
0a ≠，则a a
e a
=
a e 2
2
2
(,,)=
++x y z x y z a a a a a a
方向余弦
设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，cos
cos y x z a a a a
a
a
αβγ==
=
，cos ，cos
cos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积）
θcos b a b a =⋅， θ为向量a 与b 的夹
角
z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a
叉乘（向量积）
b a
c ⨯=
θsin b a c = θ为向量a 与b 的夹角 向量c 与a ，b 都垂直
z
y
x
z y x
b b b a a a k j i
b a =⨯ 定理与公式
垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=
平行
//0a b a b ⇔⨯=
//y z
x x y z
a a a a
b b b b ⇔==
交角余弦
两向量夹角余弦b
a b
a ⋅=θcos
222222
cos x x y y z z
x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ++=
++⋅++
投影
向量a 在非零向量b 上的投影
b a b
Prj a a a b b
∧⋅==cos() x x y y z z
b x y z
a b a b a b Prj a b b b ++=
++2
2
2
第九章 多元函数微分法及其应用
x x y y z x
==∂∂00
=相当于一元函数求导数，对某一自变量求偏导，把其余变量均视为常数即可同一元函数求高阶导数
可微一定可导（偏导存在）可导不一定可微＋dv z ∂
法向量
000((((x y z n F x F x F x =(((x y n f f x =--或
00(((,x y n f x f x =
,
第十章 重积分
积分类型
计算方法
二重积分
()σ
d ,⎰⎰=D
y x f I
平面薄片的质量
质量=面密度
⨯面积
（1） 利用直角坐标系
X —型 ⎰⎰
⎰⎰
=D
b
a
x x dy y x f dx dxdy y x f )
()
(21),(),(φφ
Y —型
⎰⎰
⎰⎰
=d
c
y y D
dx y x f dy dxdy y x f )
()
(21),(),(ϕϕ
（2）利用极坐标系 使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()x y α
+, α为实数 )
21()()
(cos ,sin )(cos ,sin )D
f d d d f d β
ϕθα
ϕθρθρθρρθ
θρθρθρρ
=⎰⎰⎰⎰
02θπ≤≤ 0θπ≤≤ 2πθπ≤≤
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）
110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy
f x y x f x y f x y D D ⎧
⎪⎪-=-⎪⎪
=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩
⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分
计算步骤及注意事项
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性
(1) 利用直角坐标⎩⎨⎧截面法
投影法
投影
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
=Ω
b a
y x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f )
,()
,()
()
(2121d ),,(d d d ),,(
第十一章曲线积分与曲面积分
所有类型的积分：
○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；
○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章 级数
无
穷级
数
常数项级数
傅
立叶级数
幂级数
一
般项级
数
正
项级数
用收敛定义，n n s ∞
→lim 存在
常数项级数的基本性质
常数项级数的基本性质 ○
1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. ○
2两个收敛级数的和差仍收敛. 注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.
○
3去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. ○
4若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。

推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛.
○5（必要条件） 如果级数收敛, 则0lim 0
=→n
n u 莱布尼茨判别法
若1+≥n n
u u 且0lim =∞
→n n u ，则∑∞
=--1
1)1(n n
n u 收敛
n u ∑和n v ∑都是正项级数，且n n v u ≤.若n v ∑收敛，则n u ∑也收敛；若n u ∑发散，则n v ∑也发散.
比较判别法
比较判别法的极限形式
n u ∑和n v ∑都是正项级数，且l v u n
n n =∞
→lim ，则○
1若+∞<<l 0,n u ∑与n v ∑同敛或同散;○2若0=l ,n v ∑收敛,n u ∑也收敛；○
3如果+∞=l ，n v ∑发散，n u ∑也发散。

比值判别法 根值判别法
n u ∑是正项级数，ρ=+∞→n
n n u u 1lim ,ρ=∞→n n
n u lim ,则1<ρ时收敛；1>ρ(ρ
=+∞)时发散；1=ρ时可能收敛也可能发散.
收
敛性
和函数
展成幂级数
n n n
x a
∑∞
=0
,ρ=+∞
→n
n n a a 1lim ,1
,0;,0;0,.R R R ρρρρ
=
≠=+∞===+∞ 缺项级数用比值审敛法求收敛半径
)(x s 的性质○
1在收敛域I 上连续;○2在收敛域),(R R -内可导，且可逐项求导;○3和函数)(x s 在收敛域I 上可积分，且可逐项积分.(R 不变,收敛域可能变化).
直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式
11(11)1n n x x x ∞==-<<-∑ 11 ()!
x
n n e x x n ∞==-∞<<+∞∑ 22T T l
π==
∑∞=++=1
)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f ⎰-
=
π
π
πdx x f a )(10
⎰-
=
π
π
πnxdx x f a n cos )(1
⎰-
=
π
π
πnxdx x f b n sin )(1
收敛定理
x 是连续点,收敛于)(x f ;x 是间断点,收敛于)]()([2
1+-+x f x f
周期 延拓
)(x f 为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(x f 为偶函数，余弦级数、偶延拓.
交错
级数。