第八、九章向量代数与空间解析几何总结
或
n (f x(X o,y。
)，f y(x°,y°),
1) 法“线“方程：
x x g y y g z z g f x(X°,y°) f y (x g, y g) 1
第十章总结
重积分
积分类型计算方法典型例题
重积分利用直角坐标系
b 2(X)
X —型f (x, y)dxdy dx
1 (x)
D
a
Y—型f(x, y)dxdy d 2( y)
dy
1( y)
D
c
f(x,y)dy
f(x,y)dx
P141—例1、例3
I f x,yd
D
平面薄片的质
量
质量=面密度面
积使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2),为实数)
P147—例5 f( cos , sin ) d d
f ( cos , sin ) d
(1)
(2)利用极坐标系
4
D
2()
0 2 0
(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D 关于y 轴对称时，(关于x 轴对称时，有类似结论)
f (x, y)对于x 是奇函数,
即口 x,y) f (x,y)
I 2 f(x,y)dxdy f(x, y)对于 x 是偶函数，
D 1
即f( x, y) f(x,y)。
1是。
的右半部分
P141—例 2 应用该性质更方便
计算步骤及注意事项
画出积分区域 选择坐标系 3. 4. 确定积分限
确定积分次序
标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关
于坐标变量易分离
原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域
第十一章总结
变力沿曲线所做的功
o Pdx Qdy Rdz
结论：R Q p
(———)dydz (—- y z Z
宀中满足条件直接应用
应用：
不是封闭曲线，添加辅助线
R
)dzdx (
x
Q
x
—)dxdy y
第一类曲面积分投影法
I f(x,y,Zdv :z z(x, y)投影至U xoy面
j2~
I f(x,y,z)dv f(x,y,z(x,y)) 1 z x
z y dxdy
曲面溥片的质量V
D xy
P217-例 1、例 2 质量-面密度类似的还有投影到
yoz面和zox面的公式
面积
(1)投影法
①Pdydz
p(x(y,z),y,z)dyd
yz
:z z(x, y), 为的法向量与x轴的夹角
前侧取“ +”，cos 0 ;后侧取“'，cos 0
◎Qdzdx p(x, y(x,
D yz P226-例 2
第二类曲面积分:y y(x, z), 为的法向量与y轴的夹角
右侧取“ +”，cos 0 ;左侧取“”，cos 0
③Qdxdy Q(x, y, z(x,
y))dxdy yz
:x x(y, z), 为的法向量与x轴的夹角
I Pdydz Qdz( 仪甲侧取“ +”，cos 0 ;下侧取“，cos 0
(2 )高斯公式右手法则取定的侧
条件：① 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧
流体流向曲面一②P，Q R具有一阶连续偏导数
侧的流量
P Q R P231-例 1、例 2 结论：o Pdydz Qdzdz Rdxdy ( )
x y z
宀中满足条件直接应用
Kv田・
应用:
不是封闭曲面，添加辅助面
(3)两类曲面积分之间的联系
Pdydz Qdzdx Rdx(y (Pcos Qcos Rcos )dS
P228-例 3
转换投影法：dydz ( _z)dxdy dzdx ( z )dxdy
x y
所有类型的积分：
①定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限；
(2D性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；
③对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。
第十二章总结
用收敛定义，lim s n存在
n
O若级数收敛，各项同乘同一常数仍收敛
㊁两个收敛级数的和差仍收敛
般
项
级
数
常数项级数的基本性质
注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散
◎去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性
@若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级
数仍收敛，且其和不变。
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数
也发散注：收敛级数去括号后未必收敛
常
数
项
级
数
交错-级
数'—
莱布尼茨判别法
比较判别法
常数项级数的基本性质
◎（必要条件）一如果级数收敛则Iim u n—O
n 0
若U n U n 1且lim U n 0，则(1)八口n收敛
n
n 1
U n和V n都是正项级数，且U n v n.若V n收敛，则
U n也收敛；若U n发散，则V n也发散•
正
项
级
数
比较判别法
的极限形式
比值判别法
根值判别法
U n和V n都是正项级数，且lim U n n V n
,U n与V n同敛或同散；◎若l
也收敛；©如果I
v n发散,
l ,则◎若
0 , v n收
u n也发散。
U n是正项级数，
n U n
j ■
，lim n U n
n i
，则1时收
1( 1时可能收敛也可能发散.
）时发散;
敛;
展
成
幕
级
数
直接展开：泰勒级数间接展开：六个常用展开式
x n( 1 x 1) e x
n 1
+ x n (
n 1 n!。