1 2
a jt 2
着陆时刻
5、问题分析与模型概述
问题一是确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。我们假设的嫦娥三号从近月点到 3000m 处做抛物线运动，此时已基本位于着陆点 上方。竖直方向做匀加速运动到 57m / s ，水平方向做匀减速运动，此时水平速度为 0。
首先我们通过万有引力公式求出远月点的速度，从远月点到近月点嫦娥三号通过霍 曼转移进入着陆准备轨道因此我们可以通过霍曼转移公式求出近月点的速度，在近月点 建立抛物线运动模型求出抛物线终点的与近月点之间的在轨道上的水平距离 X j ，我们
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图 3 月心坐标系
6.1.2 模型一：抛物线模型的建立
图 4 抛物线模型示意图 在模型准备阶段我们已经计算出抛物线的初始速度为1.67km / s 且速度方向水平，我 们假设嫦娥三号在近月点减速进入低轨道所用的推力和月球对嫦娥三号的引力合成为 抛物线运动提供动力。 对于抛物线模型我们认为抛物线加速度恒定切初速度只在水平方向上。 根据牛顿力学定律我们可以得到：
2、问题重述
实现嫦娥三号软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。目前，全球仅有美国、前苏 联成功实施了 13 次无人月球表面软着陆。在高速飞行的情况下，要保证嫦娥三号准确 地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。着陆轨道为 从近月点至着陆点，尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
本文研究的目的是建立数学模型，分析出嫦娥三号软着陆过程中的实际数据： （1）嫦娥三号着陆准备轨道近月点和远月点的位置，及相应速度的大小与方向。 （2）嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。 （3）对着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
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做出月心坐标系，近月点与月薪连线交月面上一点 h ，则 X j 即为该点到着陆点的直线距 离。建立地理测绘模型，通过着陆点 z 的经纬度坐标 (19.51W ,44.21N ) 和点 z 到点 H 的距 离 X j 即可求出点的经纬度坐标 (H x , H y ) 。
在问题二中我们忽略地球和太阳的引力，忽略月球自转，月球引力非球项对嫦娥三 号的影响在此基础上建立对嫦娥三号软着陆的前三个阶段模型，以广义乘子优化法对模 型进行求解得出三个阶段最优轨道，对于精避障和粗避障阶段的优化我们均从节省燃料 出发以中心循环搜索法选取最近的可降落区域进行降落，对于缓速下降阶段，我们认为 此时嫦娥三号是垂直下落的。轨道也是竖直向下。
1925 年，德国工程师奥尔特·霍曼博士推导出在两条倾角相同、高度相异的圆形轨 道间转移卫星的最小能量方法，称之为霍曼转移[3]。
图 1 霍曼转移轨道图
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如图 1 所示是将太空船从轨道 1 送往较高轨道 3 的霍曼转移轨道。太空船在原先的 轨道 1 上瞬间加速后，进入霍曼转移轨道 2.太空船由此椭圆轨道的近拱点开始，抵达远 拱点后在瞬间加速进入另一园轨道 3 此即为目标轨道。
的速度沿轨道切线方向。 问题二要求我们确定嫦娥三号的着陆轨道，和在 6 个阶段的最优控制策略，对于前
两个阶段我们利用广义乘子法对轨道进行优化，用拟牛顿法对结果进行方向搜寻，最终 利用 matlab 软件做出嫦娥三号制动推力方向角变化曲线、嫦娥三号高度变化曲线、嫦娥 三号角速度变化曲线、嫦娥三号径向加速度变化曲线，曲线的变化清楚的反映了每一时 刻着陆器的运动状态，和轨道的变化。并且我们最终利用拟牛顿算法求出了用燃料最小 值为1.36077t 的找出最节省燃料的方案。在快速调整阶段我们仍然采用质心方程组，利 用 matlab 自带的 ode 函数绘制出微分方程组各个变量的曲线，从中反映嫦娥三号的运动 轨迹。在粗避障和精避障阶段我们采用就近选取落点法，以节省燃料为目的，选取最优 的降落区域。
图 2 嫦娥三号的霍曼转移图 反过来，霍曼转移轨道亦可将太空船送入较低轨道，不过是两次减速。 根据霍曼转移理论我们可以计算出近月点速度 v j
E = 1 mv2 − GMm = − GMm
2
r
2a
（2）
v2 = μ(2 − 1) ra
（3）
式中为 v 物体的速度， μ = GM 为标准重力参数， r 为物体至中央物体中心的距离， a 为轨道的半长轴。
着陆点经度坐标 着陆点纬度坐标
H 的经度坐标 H 的纬度坐标 远月点与月心连线交予月球面的点
C 经度坐标 C 纬度坐标 近月点速度 远月点速度 月球的半径
着陆器距月心矢径 着陆器在 r 方向上的速度 着陆器环绕月球表面的航程角
航程角的角速度 着陆器的质量 月球引力常数 主发动机推力 制动发动机比冲 推力方向角
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
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基于广义乘子算法的软着陆轨道设计与控制策略
摘要
嫦娥三号携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。嫦娥三号在高速 飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控 制策略的设计。软着陆过程有 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量 减少软着陆过程的燃料消耗。
4、符号说明
2
符号 Xj Yj aj bj v
H j
z zx zy HX Hy C
Cx Cy vj vz
Rm
r ν θ ω m μ
F I sp ϕ
tf
说明 近月点到 3000m 处的水平位移 近月点到 3000m 处的竖直位移
抛物线运动的竖直加速度 抛物线运动的水平加速度
竖直方向上的末速度
近月点与月心连线交月球面上的点 近月点 着陆点
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的报名参赛队号为（8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1.
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日期： 2014 年 09 月 15日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛
任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力大小与它们质量的乘积成 正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。
万有引力公式： F = GMm / r 2 ,推论公式 GMm /(r + h)2 = mv2 /(r + h) （1）
式 M 中为星体质量， r 为星体的半径， m 为环绕星体运动的质点的质量，v 为质点 运动的速度，G 为万有引力常数， h 为质点轨道的高度。我们通过此公式代入数据可以 得出远月点的速度 vz =1.63 km / s ；
中国发射的月球探测器“嫦娥三号”成功在月球上实现软着陆。在成功向月球表面 发射探测器方面，中国成为继美国和前苏联之后的第三个国家。中国借助可与载人宇宙 飞行媲美的大型计划的成功，巩固了作为宇宙大国的地位，但将技术转为军事用途的担 忧也将加强[2]。中国着眼于月球表面开发的国际竞争的全面启动，彰显了技术实力和民 族自豪感。
问题三，对设计的轨道进行误差分析和敏感性分析，我们建立初始状态误差模型和 传感器误差模型，对问题二求得的结果进行了误差分析和敏感性分析，初始状态误差模 型从初始状态的误差入手，通过分析初始状态对整个模型求解影响反映出模型能够接受 的初始值的范围通过比较可以得出初始值对模型影响的状况。我们从图 14 中可以明显 看出嫦娥三号在第二阶段的速度与竖直方向的夹角ϕ 导航对模型四有显著影响，模型四 对ϕ 非常敏感。传感器测量的量主要为嫦娥三号相对于着陆场坐标系的位置，速度和加 速度，通过分析这些量可以得到嫦娥三号轨道是在预测轨道上。误差分析和敏感性分析 从一定程度上辨别验证了优化模型的可靠度，反映了模型与实际中的误差。
关键词：抛物线、地理测绘、广义乘子、选取落点、误差分析、敏感性分析。
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1、问题背景
继嫦娥一号、嫦娥二号奔月成功之后， 2013 年12 月14 日晚九时二十分，载有玉兔 车的嫦娥三号成功实现“登月”计划，为中国人的航天梦想增添了浓墨重彩的一笔，成 为中国航天事业的又一个里程碑。至此，中国已经成为世界上第三个实现地外天体软着 陆的国家。
3、模型假设
假设一：嫦娥三号从近月点到 3000m 处做抛物线运动。 假设二：在 3000 米高处时，已经位于着陆点上方。水平速度为 0。 假设三：月球平均半径、赤道平均半径和极区半径分别为1737.013km 、1737.646km 和1735.843km ，月球的形状扁率为 1/963.7256，由于月球平均半径，赤道平均半径和 极区平均半径相差不大。我们认为这是一个正圆球。 假设四：我们认为月球在近月点减速开始降落时加速度恒定直至抛物线运动结束。 假设五：为了节省燃料我们认为嫦娥三号的运行轨道是从自西向东的。 假设六：我们认为太阳引力地球引力对陈哥三号的运行无影响。 假设七：忽略月球自转，月球引力非球项对嫦娥三号的影响。 假设八：粗避障阶段和精避障阶段嫦娥三号在选取降落区时水平方向竖直方向上 均无任何位移。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或 其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文 引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有 违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们初始状态模型和传感器误差模型对问题二求得的结果进行 误差分析和敏感性，从一定程度上证实了问题二两个模型的合理性，也从一定方面找出 了问题二模型的不足，