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数学建模作业

习 题 1
1. 请编写绘制以下图形的MA TLAB 命令,并展示绘得的图形.
(1) 221x y +=、224x y +=分别是椭圆2241x y +=的内切圆和外切圆. (2) 指数函数x y e =和对数函数ln y x =的图像关于直线y=x 对称. (3) 黎曼函数
1, (0)(0,1) 0 , (0,1), 0,1
q x p q q x y x x x =>∈⎧=⎨
∈=⎩当为既约分数且当为无理数且或者 的图像(要求分母q 的最大值由键盘输入).
3. 两个人玩双骰子游戏,一个人掷骰子,另一个人打赌掷骰子者不能掷出所需点数,输赢的规则如下:如果第一次掷出3或11点,打赌者赢;如果第一次掷出2、7或12点,打赌者输;如果第一次掷出4、5、6、8、9或10点,记住这个点数,继续掷骰子,如果不能在掷出7点之前再次掷出该点数,则打赌者赢. 请模拟双骰子游戏,要求写出算法和程序,估计打赌者赢的概率. 你能从理论上计算出打赌者赢的精确概率吗?请问随着试验次数的增加,这些概率收敛吗?
4. 根据表1.14的数据,完成下列数据拟合问题:
(1) 如果用指数增长模型0()0()e r t t x t x -=模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程,请用MATLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算指数增长模型的以下三个数据拟合问题:
(i) 取定0x =3.9,0t =1790,拟合待定参数r ;
(ii) 取定0t =1790,拟合待定参数0x 和r ; (iii) 拟合待定参数0t 、0x 和r .
要求写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示误差平方和最小的拟合效果图.
(2) 通过变量替换,可以将属于非线性模型的指数增长模型转化成线性模型,并用MA TLAB 函数polyfit 进行计算,请说明转化成线性模型的详细过程,然后写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示拟合效果图.
(3) 请分析指数增长模型非线性拟合和线性化拟合的结果有何区别?原因是什么?
(4) 如果用阻滞增长模型00
()
00()()e
r t t Nx x t x N x --=
+-模拟美国人口从1790年至2000年的变化过程,请用MA TLAB 统计工具箱的函数nlinfit 计算阻滞增长模型的以下三个数据拟合问题:
(i) 取定0x =3.9,0t =1790,拟合待定参数r 和N ;
(ii) 取定0t =1790,拟合待定参数0x 、r 和N ; (iii) 拟合待定参数0t 、0x 、r 和N .
要求写出程序,给出拟合参数和误差平方和的计算结果,并展示误差平方和最小的拟合效果图.
年份 1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 年份1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4
习题 2
1. 继续考虑第
2.2节“汽车刹车距离”案例,请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗?“两秒准则”是否足够安全?对于安全车距,你有没有更好的建议?
4. 继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例,假设在第t 天的生猪出售的市场价格(元/公斤)为
2()(0)p t p gt ht =-+ (2.4.1) 其中h 为价格的平稳率,取h =0.0002. 其它模型假设和参数取值保持不变.
(1) 试比较(2.4.1)式与(2.3.1)式,解释新的假设和原来的假设的区别与联系. (2) 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润.
(3) 做灵敏度分析,分别考虑h 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响. (4) 讨论模型关于价格假设的强健性.
5. 继续考虑第2.3节“生猪出售时机”案例,假设在第t 天的生猪体重(公斤)为
()000()m
t
m w w w t w w w e
α-=
+- (2.4.2) 其中0(0)90w w ==(公斤),270m w =(公斤),其它模型假设和参数取值保持不变.
(1) 试比较(2.4.2)式与(2.3.2)式,解释新的假设和原来的假设的区别与联系(提示:说明当α (α>0)取何值时,在t =0时可以保持(0)1w r '==;说明当t 增大时,猪的体重会如何变化).
(2) 在新的假设下求解最佳出售时机和多赚的纯利润.
(3) 参数m w 代表猪长成时的最终重量,对m w 做灵敏度分析,分别考虑m w 对最佳出售时机和多赚的纯利润的影响.
(4) 讨论模型关于生猪体重假设的强健性.
习 题 3
4. 某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金,学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行,第二年一到期就支取,取出一部分作为当年的奖学金,剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请你研究这个问题,并向学院领导写一份报告.
5. 有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取方式(指本金一次存入,分次支取本金的一种储蓄)存入,从第一个月开始每月支取1000元,银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金. 请你计算老人多少岁时将把养老金用完?如果想用到80岁,问60岁时应存入多少钱?
10. 继续考虑第3.4.3小节“人口预报”案例,用前差公式计算美国人口的年增长率,假设人口年增长率是人口数量的二次函数,重新建模、求解和分析.
习题 4
1. 请估算第4.1.6小节“排污量的估计”案例中氨氮污染物的排放量.
2. 继续考虑第4.1.7小节“饮酒驾车”案例,大李在喝了3瓶啤酒后多长时间内驾车就会违反新的国家标准?分别在以下两种情况下回答:
(1) 酒是在很短时间内喝的;
(2) 酒是在较长一段时间(比如2小时)内喝的.
3. 继续考虑第3.
4.2小节“酵母培养物的增长”案例,建立微分方程模型,模拟酵母培养物的增长.
习题 6
2. 13名儿童参加了一项睡眠时间(分钟)与年龄(岁)关系的调查,表6.18中的睡眠时间是根据连续3天记录的每天睡眠时间的平均值得到的. 请建立和求解回归模型,解释得到的结果,给出10岁儿童的平均睡眠时间及预测区间.
序号年龄睡眠时间序号年龄睡眠时间
1 4.4 586 8 8.9 515
2 14.0 462 9 11.1 493
3 10.1 491 10 7.8 528
4 6.7 56
5 11 5.5 576
5 11.5 462 12 8.
6 533
6 9.6 532 13 7.2 531
7 12.4 478
3. 水的沸点与大气压强有密切关系,表6.19中包含了17次试验中所测得的水的沸点(华氏温度)和
大气压强(水银英寸),请建立回归模型估计沸点和压强之间的关系,并给出当沸点为201.5F o 时压强的预测值及预测区间.
沸点 194.5 194.3 197.9 198.4 199.4 199.9 压强 20.79 20.79 22.40 22.67 23.15 23.35 沸点 200.9 201.1 201.4 201.3 203.6 204.6 压强 23.89 23.99 24.02 24.01 25.14 26.57 沸点 209.5 208.6 210.7 211.9 212.2 压强
28.49
27.76
29.04
29.88
30.06
习 题 7
1. 对于不允许缺货的确定性静态库存模型,做灵敏度分析,讨论参数1p 、2p 和r 的微小变化对最优订货策略的影响.
2. 某配件厂为装配线生产若干种部件. 每次轮换生产不同的部件时,因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关). 同一部件的产量大于需求时,因积压资金、占用仓库要付库存费. 今已知某一部件的日需求量100件,生产准备费5000元,库存费每日每件1元. 如果生产能力远大于需求,并且不允许出现缺货,请制定最优生产计划.
3. 某商场把销售所剩的空纸皮箱压缩并打成包准备回收,每天能产生5包,在商场后院存放的费用是每包每天10元. 另一家公司负责将这些纸包运送到回收站,要收取固定费用1000元租装卸车,外加运输费每包100元. 请制定运送纸包到回收站的最优策略.
6. 继续考虑例
7.2.1,约束条件保持不变,将每吨内、外墙涂料的利润分别修改为5千元和4千元,请分别用图解法和单纯形法求解.。

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