有 2l 1 个不同的 m 值，这就是 L 的本征值 l (l 1) 的简并度。 l 0 和 l 1 的球谐函数是：
2
2
Y00
Y10
1 , 4
3 sin e i . 8
3 cos , 1 4
3 ˆ, Y1,1 z 4
3 x y z ˆ iy ˆ) x ˆ, y ˆ, z ˆ , , ，所以 (x 8 r r r 1 3 i 3 3 ˆ, Y1 y ˆ , Y1z Y10 ˆ. Y1x (Y1,1 Y1,1 ) x (Y1,1 Y1,1 ) y z 4 4 4 2 2 ˆ r / r 的 3 个分量。 这表明，3 个 1 阶球谐函数实际上就是单位矢径 r
注意到 Y1m (m 0, 1) 也可以写为 Y10 4.4.4 球谐函数的基本性质
ˆ 的同时本征函数： (1) Ylm ( , ) 是 L 和 L z
2
3
L2Ylm l (l 1) 2 Ylm , (l 0, 1, 2, ) ˆ (m l , l 1, , l ) Lz Ylm m Ylm .
§ 4.4 角动量算符的本征值和本征态
4.4.1 角动量算符的球坐标表示 轨道角动量算符的定义是：
ˆ ˆ ˆ Lr p i r ,
即是
ˆ i y z , L ˆ i z x , L ˆ i x y , L x y z y z x x z y
x r sin cos , y r sin sin , z r cos ,
其中
r [0, ), [0, ], [0, 2 ),
那么，
ˆ z i , L
1 2 . 2 2 sin ˆ 的表达式。 ˆ 和L 注意：它们与 r 无关。目前暂时用不到 L L2
4
2
1 sin sin
x
y
ˆ 的本征值和本征函数 4.4.2 L z ˆ 记 L 的本征值为 m ，本征函数为 m ( ) ，则本征方程是：
z
ˆ m , L z m m
即是：
d m i m m ( ), d
所以 m ( ) C e 所以
ˆ ,L ˆ ,L ˆ 之中的某一个，通常选为 L ˆ 。我们的任务是求解 L 和 L ˆ 所以，这些算符的完备集是 L 以及 L x y z z z
2
2
的同时本征方程（注意：这和动量算符的情况完全不同） 。 这些方程更便于从直角坐标系 (x, y, z) 转入球坐标系 (r , , ) 求解。这个变换是
i m
。由波函数的单值性，必须有：
m ( 2 ) m ( ),
m 0, 1, 2,
归一化条件
2
0
m ( ) d 1 导致 C 1/ 2 ，所以
1
2
m ( )
这些本征函数可以用于求解平面转子问题。
1 i m e . 2
1
注。这里出现了量子数 m (整数集)的情形，其数学原因是圆周 S 的第一同伦群是 ，所以 m 在 本质上是一个拓扑量子数，数学上称为第一 Chern（陈省身）数，物理上称为绕数(winding number)。 4.4.3 L 的本征值和本征函数
1 1 2wx x
头三阶 Legendre 多项式是
2
Pl ( w) xl . (0 x 1, 1 w 1)
l 0

P0 (w) 1, P 1 ( w) w, 1 P2 ( w) (3w2 1). 2
2
连带 Legendre 方程的解 Pl ( w) 称为连带 Legendre 函数，定义为
我们把对应的解记为 Pl ( w) ，所以 Pl ( w) 满足方程
m d m2 m 2 dP l (1 w ) l ( l 1) Pl ( w) 0. dw dw 1 w2
m m
特别是，当 m 0 时， Pl ( w) Pl
其中 ijk 是“完全反对称三阶单位张量” ，它的非零分量是
123 231 312 321 213 132 1,
此外定义
ˆ 2L ˆ 2L ˆ 2, L2 L 2 L x y z
那么就有
ˆ ] [ L2 , L ˆ ] [ L2 , L ˆ ] 0. [ L2 , L x y z
(3) 空间反射变换 r
Ylm ( , )Ylm ( , ) d l l mm.

Ylm ( , ) (1) l Ylm ( , ) ,
所以， Ylm ( , ) 的宇称是 ( 1) l 。 (4) 球谐函数 Ylm ( , ) 是单位球面（ r 1 ）上的完备函数系，也就是说，以 ( , ) 为变量的任何 函数都可以展开为 Ylm ( , ) 的线性组合。 在经典力学里动量和角动量都是矢量，二者的区别只是动量是极矢量而角动量是轴矢量。但是在量 子力学里动量和角动量的区别要大得多。请思考一下这些区别都有哪些？
Y ( , ) P( )ei m ,
因而 P( ) 满足：
1 d dP m2 P( ) P( ). sin sin d d sin 2
通常引入 则方程成为：
w cos , w [1, 1],
d m2 2 dP P( w) 0. (1 w ) dw dw 1 w2 这个方程称为连带(associated)（又称缔合）勒让德(Legendre)方程。 w 1 是这个方程的奇点，所以， 除非 取某些特定值，方程的解会在 w 1 处变成无穷大。 的这些允许值是： l (l 1), l m , m 1,
1 1 0 1 P 1 (cos ) sin , P 1 (cos ) cos , P 1 ( w) sin . 2
综上所述，轨道角动量的本征函数是
m i m Ylm ( , ) Nlm P , l (cos )e
其中本征值 l , m 的取值范围是
Pl m ( w) (1)m (l m)! m Pl ( w). (l m)!
1 1 w2 , 2
例如 P 1 ( w) (m 1, 0, 1) 是
m
1 2 0 1 P 1 ( w) 1 w , P 1 ( w) w, P 1 ( w)
换为变量 的表达式就是
m0
( w) 满足：
dP d (1 w2 ) l l (l 1) Pl ( w) 0. dw dw 这个方程称为 Legendre 方程，它的解 Pl ( w) 是 w 的 l 阶多项式，称为 Legendre 多项式，定义为
1 dl Pl ( w) l ( w2 1) l . l 2 l! dw 直接求导就不难验证 Pl ( w) 满足 Legendre 方程。 Pl ( w) 还有如下的母函数（生成函数）展开式：
m
Pl m ( w)
事实上，在 m 0 的时候，
l m 1 2 m/2 d (1 w ) ( w2 1)l . (m l , l 1, 2l l ! dwl m
, l)
Pl m ( w) (1 w2 )m / 2
而P l
m
dm Pl ( w), dwm
( w) 和 Pl m ( w) 只有常数因子的差别：
l 0, 1, 2 , m l , l 1,
, l.
N lm 是归一化常数，使
Ylm ( , ) Ylm ( , ) d 1,

(d sin d d )
结果是（关于 N lm 的相位的选择以后再解释）
Nlm (1)m
最后得
(2l 1) (l m)! , 4 (l m)!
(2) Ylm ( , ) 是正交归一的：
r ( x x, y y, z z ) 在球坐标系 ( r, , ) 中成为 r r, , . m l m m 当 时 w w ，利用 P P l ( w) (1) l ( w) 和 Ylm ( , ) 的表达式，不难发现
2
L2 的本征函数是 ( , ) 的函数，记为 Y ( , ) ，本征值记为
2
，则本征方程是
L2 Y
即是
2
Y,
1 Y 1 2Y sin Y ( , ). sin sin 2 2
ˆ 的本征函数，这个要求等价于 Y ( , ) 是一个分离变量的解，也就是 我们要求 Y ( , ) 同时是 L z
Ylm ( , ) (1)m
(2l 1) (l m)! m Pl (cos )ei m . 4 (l m)!
Ylm ( , ) 称为球谐函数，l 称为角量子数，m 称为磁量子数。采用原子物理的术语，l 0,1, 2,3 的 状态分别称为 S, P, D, F 态， l 4,5,6, 的状态按字母表的顺序依次称为 G, H, I, 态。对于指定的 l ，
它们满足对易关系
ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L ˆ ,L ˆ ]i L ˆ , [L x y z y z x z x y
或简记为
ˆ,L ˆ ]i L ˆ [L i j ijk k , (i, j , k x, y, z 1, 2, 3)