一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrdinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrdinger 创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac 算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+a ˆ、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
1.矩阵力学解法V 可表成221kx V x =（１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令μωk=（２）它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势222ˆ212ˆˆx p H μωμ+= (3) 在能量Hˆ表象中，由于]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(p xf ix x f η-=∂ (4a) ]ˆ),ˆ([ˆ)ˆ(x pf i x pf η=∂ (4b) 因此有]ˆˆˆˆ[ˆˆˆ2H P P H i x x H --==∂∂ημω(5a)]ˆˆˆˆ[ˆˆˆH X X H i pp H -==∂∂ημ (5b) 取Hˆ表象的矩阵元ij ，由于 ij ij ij E H δ=(6)故有ij j i ij p E E ixˆ)(ˆ2--=ημω (7a) ij j i ij xE E ipˆ)(ˆ-=ημ(7b) 由于H ˆ矩阵的对角性， (7a)，(7b) 两式中的矩阵乘法的取和消失了。
且只是ijϕ和ij p 两个未知量的方程，与x ，p 的其它矩阵元无关，这是谐振子特性的体现，从而使得求解矩阵元大为简化。
得ωη±=-j i E E(8)则有ωεη)(+=i E i ， ...2,1,0±±=i 10≤≤ε (9)不为零的矩阵元为)(1,1,-++=i j i j ij ij p p δδ (10a))(ˆˆ1,1,-++=i j i j ij ij x xδδ (10b) 由(6)式得ωεη)(2,121,+=+-+i p p ii i i (11)此式的解为211,++=+εi c p i i (12) 由(10b)式可知0≥i ，为满足此条件应有00,1=-p 即0211=++-εc 得 21=ε(13)则ωη)21(+=i E i ， i =1，2…(14)2. Dirac 算符算子代数解法 求解一维谐振子能量本征值由(3)式，采用自然单位1===μωη，则)(2122p x H +=(15) 因此H 具有相空中的旋转不变性，令)ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa+=+= (16a) )ˆˆ(21)ˆˆ(21ˆxd dxp i xa-=-=+ (16b) 利用ηi p x=]ˆ,ˆ[，容易得1]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[=-=+p x i a a(17) 对H 进行因式分解21ˆ)21ˆˆ(]1)ˆˆ)(ˆˆ[(21ˆ+=+=+++-=+N a a x x d d x x d d H(18) 式中a a Nˆˆˆ+= (19)则[Hˆ，N ˆ]=0 (20)因为0ˆˆˆˆ2≥==+ϕϕϕϕϕa a a N(21)N a a a a Nˆˆˆ)ˆˆ(ˆ===++++ (22) 所以Nˆ为正定Hermite 算符，H ˆ亦为正定Hermite 算符 设n n n N=ˆ (23)n 为正数，n 表示Nˆ的一个本征态，由(17)(18)式得 a a Nˆ]ˆ,ˆ[-= (24a) ++=a a Nˆ]ˆ,ˆ[ (24b) n a n n N a a N n a N+++++=+=ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆˆ (25a) n a n n N a a N n aN ˆ)1()ˆˆ]ˆ,ˆ([ˆ-=+=)(25b) 因此可知，若n 为N ˆ的本征态，且本征值为n ，则n aˆ与n a +ˆ也是N ˆ的本征态，且本征值为n-1，n+1。
由(25a)式可知n aˆ是N ˆ的本征态，从N ˆ的某个本征态n 出发，逐次用降算符aˆ运算可得N ˆ的一系列本征态， n ， n aˆ， 2ˆa n ， … (26) 相应的本征值为n ， n-1，n-2， (27)因为N ˆ为正定Hermite 算符，它的所有本征值必须0≥。
设N ˆ的最小本征值为0n ，本征态为0n 。
故它的必须满足0ˆ0=n a(28)由此可得0ˆˆˆ00==+n a a n N (29) 即0n 是N ˆ的本征值，对应本征值为0n =0，因此0n 可记为0。
由(25b)式可知，n a +ˆ也是N ˆ的本征态，从N ˆ 的最小本征值 0n =0对应的本征态0出发，逐次运用算符+aˆ可得N ˆ的全部本征态 0， +aˆ0， 2)ˆ(+a 0， (30)相应本征值为0， 1， 2， (31)可以得Nˆ的归一化本征态0)ˆ(!1n an n +=(32) 它是Hˆ的本征态 0ˆnE n H = (33)21+=n E n ， n=0，1，2 (34)添上能量单位，ωη)21(+=n E n ， n=0，1，2….(35)求解波函数由(28)式 aˆ0=0即00)ˆˆ(21=+p x得， 0)()ˆˆ(210=+x xd dxϕαα，ημωα= (36) 解得20022)(x eN x αϕ-=(37)由归一化条件1)(2=⎰∞∞dx x n ϕ得，210)2(α=N (38)由(32)式得0)ˆ(!1n an n +=，即 )()ˆ(!1)(0x a n x nn ϕϕ+==22122)()!2(x n ne dx d x n n αααα-- (39) 令x αξ=，则(36)式可写成:22122)()!2()(x n nn e d d n n αξξαξϕ--= =22)(ξξ-e H N n n(40)n N =21)!2(n n nα(41) 22)()1()(ξξξξξ---=e d d e H n n n (42) 易得)(x n ϕ=n )1(-)(x n ϕ， 即n 的奇偶性决定谐振子波函数的奇偶性。
Hermite 多项式的递推关系1)ˆˆ(21ˆ-=+=n n n xd dx n a(43) 11)ˆˆ(21ˆ++=-=+n n n xd dxn a (44) 因此211222)()()(21ξξξξξξ----=+eH N n eH N d dn n n n (45)211222)(1)()(21ξξξξξξ-++-+=-eH N n eH N d d n n n n (46)由(45)(46)两式得12121-+++=n n n n n ξ (47) 即2112112222)(2)(21)(ξξξξξξξ----++-++=eH N ne H N n eH N n n n n n n=212122)(22)()1(221ξξξξ---++++eH N n ne H n N n n n n n 得)(2)()(211ξξξξ-++=n n n nH H H (48)由(43)得22)()(21ξξξξ-+eH N d dn n =22)(21ξξξ-e H N d dn n=2112)(ξξ---e H N n n n(49)而nN N n n 21-=(50)由(49)(50)两式得)(2)(1ξξξ-=n n nH H d d(51)相干态与压缩态 相干态由(24)式a a Nˆ]ˆ,ˆ[-=≠0。
N ˆ，a ˆ不对易。
又由(43)式1ˆ-=n n n a ，所以除n=0 以外，一般n 不是Nˆ的本征态。
而且设N ˆ的本征态为α则α必须包含所有的n 。
设n C n n )(0αα∑∞==(52)满足方程αλα=aˆ (53)λ为本征值，利用式(43)，得n C n n ∑∞==0λαλ=n C a n n ∑∞=0)=10-∑∞=n n C n n(54)即得10-''=∑∑∞=''∞=n n C n C n n n n λ (55)以1-'n 左乘上式，得1110-'-''=-'∑∑∞=''∞=n n n C n n C n n n n λ (56)利用正交归一条件n n n n '='δ，得1-=n n C nC λ(57)依次递推，即得0!C n C nn λ=(58)0C 为归一化常数，归一化条件为2∑∞==n n C αα=nn nn C ∑∞=022!λ=1 (59)由于2!λλen nn n=∑∞=(60)所以2120i C ee λδ-= (61)通常可以取0C 为正实数，即取 δ=0 ，这时α=n C n n ∑∞=0=n n en ∑∞=-0221!2λλ(62)此即为谐振子的相干态。