2019年学业水平考试模拟卷数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合{|14},{|28},A x x B x x =≤≤=≤≤，则A B 等于（ ）
A ．{|18}x x ≤≤
B ．{|24}x x ≤≤
C ．{|24}x x x ≤≥或 D.
{|18}x x x ≤≥或
2.
2cos 3π的值为（ ）
A ．12-
B ．1
2
C ．32
D ． 32-
3. 函数()lg(2)f x x =+的定义域是( ) A ．),2[+∞ B ．),2(+∞ C ．(2,)-+∞ D ．[2,)-+∞
4. 函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( )
A.(－2,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
5.设函数f (x )＝⎩⎨⎧
1＋log 2(2－x )，x <1，
2x －1
，x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．12
B ．9
C ．6
D ．3 6.要得到函数y ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )
A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3个单位
D ．向右平移
π
3
个单位
7.已知f (x )是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f (－0.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( )
A. f (－0.5)＜f (0)＜f (1)
B. f (－1)＜f (－0.5)＜f (0)
C. f (0)＜f (－0.5)＜f (－1)
D. f (－1)＜f (0)＜f (－0.5) 8.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4的概率是
( )
A.14
B. 34
C. 12
D.23
9.图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )
A ．k 1<k 2<k 3
B ．k 3<k 1<k 2
C ．k 3<k 2<k 1
D ．k 1<k 3<k 2
10．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋2y ≥0，x －y ≤0，
x －2y ＋2≥0，
则z ＝2x －y 的最小值等
于( )
A ．－52 B.－2 C ．－3
2 D.2
11．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++等于 ( ) A ．0 B. BE C.AD D.CF
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 13. 指数函数f (x )＝a x ＋1的图象恒过定点________.
14. 如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是_______.
16.已知向量(),2a m =，向量()2,3b =-,若a b a b +=-，则实数m 的值是_______.
三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2sin x
2
cos
x
2
－2sin2
x
2
.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
18．(本小题满分10分) 如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D为AC的中点，证明：平面POD⊥平面PAC.
19．(本小题满分10分)设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且13,21,1355311=+=+==b a b a b a
(Ⅰ)求{}n a ，{}n b 的通项公式．
(Ⅱ)求数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n n b a 的前n 项和n S .
20. (本小题满分10分)某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了错误!未找到引用源。
名学生作为样本，得到这错误!未找到引用源。
名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：
(Ⅰ)求表中错误!未找到引用源。
的值和频率分布直方图中错误!未找到引用源。
的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；
(Ⅱ)如果用分层抽样的方法从样本服务次数在错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在错误!未找到引用源。
的概率.
21. (本小题满分12分)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (Ⅰ)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(Ⅱ)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
普通高中学生学业水平考试模拟卷
参考答案 一、选择题
1.A
2.A
3.C
4.C
5.B
6.B
7.C
8.B
9.D 10.A 11.D
二、填空题：13. (-1,1) 14. 7π 15. 1
5 16. 3
三、解答题
17. 解： (1)由题意得f (x )＝
22sin x －2
2
(1－cos x ) ＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π
4.
当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π
4时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
3π4＝－1－2
2
.…………………………10分 18. 证明：∵OA ＝OC ，D 为AC 中点， ∴AC ⊥OD .
又∵PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，∴AC ⊥PO . …………………………5分 ∵OD ∩PO ＝O ，∴AC ⊥平面POD .
而AC ⊂平面PAC ，∴平面POD ⊥平面PAC . …………………………10分 19. 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0，
且⎩⎨⎧
1＋2d ＋q 4
＝21，1＋4d ＋q 2
＝13，
解得⎩⎨
⎧
d ＝2，q ＝2，
所以a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1. …………………………5分 (2)a n b n ＝
2n －12n －1，S n ＝1＋321＋522＋…＋
2n －32n －2＋2n －1
2
n －1，① 2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －1
2n －2，②
②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －1
2n －1
＝2＋2×⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1
＝2＋2×1－
1
2n －11－
12－2n －12n －1＝6－2n ＋3
2n －1.…………………………10分
20.
可以看出，中位数位于区间[15，20），设中位数为x 则0.250.125(15)0.125(20)0.0750.05x x +⨯-=⨯-++17x ∴=
（2）由题意知样本服务次数在错误!未找到引用源。
有20人，样本服务次数在错误!未找到引用源。
有4人，如果用分层抽样的方法从样本服务次数在错
误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
的人数分别为：错误!未找到引用源。
和错误!未找到引用源。
.记服务次数在错误!未找到引用源。
为错误!未找到引用源。
，在错误!未找到引用源。
的为错误!未找到引用源。
.
从已抽取的6人任选两人的所有可能为：
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
共15种，
设“2人服务次数都在错误!未找到引用源。
”为事件错误!未找到引用源。
，则事件错误!未找到引用源。
包括
错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
共10种，所有错误!未找到引用源。
.
21.解(1)设|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，∴圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，又|AD|＝23，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.
设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.
由点C到直线l的距离公式：|－2k－6＋5|
k2＋(－1)2
＝2，得k＝
3
4
.
故直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即CD→·PD→＝0，∴(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.。