⑶ 画轴力图 | FNmax|=30 kN
FN 10kN
30kN
+
x
+
一
20kN
例3-2竖柱AB如图（3-4a）所示，其横截 面为正方形，边长为a，柱高为h，材料的 体积密度为ρ；柱顶受载荷P作用。试作 出其内力图。
解：对任意截面取上段为研究对象 G = a 2 x 是该段研究对象的自重
FN x = -F - a 2 x 0 x h
第3章 轴向拉伸和压缩
•3.1 轴向拉伸与压缩的概念 •3.2 拉伸与压缩时横截面上的内力——轴力 •3.3 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 •3.4拉伸与压缩时斜截面上的应力 •3.5 拉伸与压缩时的变形 •3.6 静定结构节点的位移计算 •3.7 材料的力学性质 •3.8 轴向拉伸与压缩时的强度计算 •3.9 拉（压）杆的超静定问题 •3.10 应力集中的概念 •3.11轴向拉伸与压缩的变形能
轴向拉伸和压缩
作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
I
50kN 150kN
轴向拉伸和压缩
I
II
100kN
50kN I II
FN1 FN1=50kN
I 50kN FN
II FN2
100kN II
+
100kN
FN2= -100kN
| FN |max=100kN
例3-1试绘出图3-3所示杆的轴力图。已知 F1=10kN, F2=30kN，F3=50kN。 解 （1）计算支座反力
的位移。 解：解题的关键是先准确计算出每段杆的轴力，然后计算 出每段杆的变形，再将各段杆的变形相加即可得出D点的位移。 这里要注意位移的正负号应与坐标方向相对应。
P A
a
3P
a
3P D
x
l AB = -
Pa EA
B

C
a
l BC = 0
lCD = 3Pa EA
图5-1
3P
FN图
P
+
+
l AD = l AB + lBC + lCD = -
螺栓的横向变形为
d = 1 d1 = -2.223 10-4 15.3 = -0.0034 mm
3.6 静定结构节点的位移计算
轴向拉伸和压缩
例 图示结构中①杆是直径为32mm的圆杆， ②杆为2×No.5槽钢。
材料均为Q235钢，E=210GPa。已知F=60kN，试计算B点的位移。
A
解：1、计算各杆上的轴力
例 等截面杆A=400mm2，F=50kN，试求斜截面m-m上的正应力与 切应力 解：杆横截面上的正应力
FN - 50103 1 = = = -125MPa A 400
斜截面m-m上的正应力与切应为
50 = 0 cos2 = -125cos2 50 = -51.6 MPa 0 - 125 50 = sin 2 = sin 100 = -61.6 MPa
1 30
60kN 2 20 40kN 3 35 30kN 50kN
轴向拉伸和压缩
FN1 = 0 FN 2 = 60kN FN 3 = 50kN
1
2
60
3 50 20
kN
FN图
+
1 =
FN1 =0 A1
FN 2 60103 4 2 = = = 191 MP a -3 2 A2 (2010 ) FN 3 50103 4 3 = = = 52MP a -3 2 A3 (3510 )
-50kN
F
300 400
FNB = -3F = -150kN
（2） 求各段应力
1 =
FN 1 - 501000 = = -0.87 MP a A1 240 240
C
一
-130kN
240 370
FN B - 1501000 B = = = -1.1 MP a AB 370 370
作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3 截面的应力。
线应变（相对变形）:单位长度的变形
l1 - l l = 轴向(纵向)应变： = l l
d1 - d d = 横向应变： = d d
'
轴向拉伸和压缩 实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数μ----称为
横向变形系数（泊松比）
|' | ' = =| |
= - = -
轴向拉伸和压缩
F F
F
B x
G
Fx = 0
FN x + F + G = 0
FN a a A FN图
-
轴力图如图
h
F+ρa2h
结论(外力法)：杆的轴力等于截面一侧所有外力的代数和，其中离开截面 的外力取正号，指向截面的外力取负号
3.3 轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
3.3.1 实验观察与假设
3.1 轴向拉伸与压缩的概念
受力特点：外力（或其合
力）的作用线沿杆轴线
轴向拉伸和压缩
变形特点：杆件沿轴线方向
伸长或缩短
F
F
F
F
F
F
拉杆
压杆
3.2 拉伸与压缩时横截面上的内力 ——轴力 3.2.1 横截面上的内力——轴力
F
轴向拉伸和压缩
I
II
F
单位：
SFX=0：+FN-F=0
F
I
FN
x
FN=F
N(牛顿)或 kN(千牛)
解： 螺栓的纵向变形为
=
l 0.04 = = 7.41 10 -4 l 54
轴向拉伸和压缩
螺栓横截面上的正应力为
= E = 200 103 7.4110-4 = 148.2 MP a
螺栓的横向应变为
1 = - = -0.3 7.41 10 -4 = -2.223 10 -4




3、计算B点的位移
= -0.6610-3 m = -0.66mm
| B2 B3 |=| BB1 | sin = L1 sin = 1.04mm | B4 B1 |= L1 cos = 1.42mm | B3 B1 |= L2 + | B4 B1 |= 2.08mm | B3 B |=| B3 B1 | ctg = 2.77mm | B2 B =| B2 B3 | + | B3 B |= 3.81mm
例 图示阶梯形圆截面杆，F1=20kN， F2=50kN，d1=20mm，d2=30mm，计 算杆内横截面上最大正应力。 解：1.支反力计算 FR = F2 - F1 = 30kN 2.轴力分析 FN1 = F1 = 20kN
轴向拉伸和压缩
FN 2 = - FR = -30kN
3.应力分析
FN1 4 FN1 4 20103 1 = = = = 63.7MP a A1 d12 202 FN 2 - 30103 4 2 = = = -42.4MP a 2 A2 30
最大正应力
max = 1 = 63.7 MPa
3.4 拉伸与压缩时斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；
轴向拉伸和压缩
斜截面----是指任意方位的截面。 ①全应力：
F

F
p =
F cos = 0 cos A
p
F
②正应力：

FN
= p cos = cos2
2 2
3.5 拉伸与压缩时的变形
3.5.1 变形和应变的概念
轴向拉伸和压缩
杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生 变形。变形后杆长为l1，直径为d1。
F
d1
F
d l l1
1.绝对变形
纵向绝对变形 Δ l= l1-l 横向绝对变形 Δ d= d1 - d
其中：拉应变为正， 压应变为负。
2.相对变形
①
FX = 0 ： - FN 1 cos - FN 2 = 0 FN 1 sin - F = 0 FY = 0 ： FN 1 = 1.67F FN 2 = -1.33F
1.8m
FN 1

FN 2
B
F
C
②
2.4m
B F

2、计算各杆的变形
B1
B3
B2 l 2
F1 A F2 B
轴向拉伸和压缩
F3 FR
C
D
∑Fx=0，-F1+F2- F3+FR=0 得 FR= F1- F2+ F3=10-30+50=30 kN
F1
（2） 分段计算轴力 FN1= F1=10 kN
FN1 F2
FN3
FR
F1
FN2
FN2= F1- F2=10-30 =-20kN FN3= FR=30 kN
4 Pa EA
D点的位移为：
4 Pa EA
例3-4 变截面钢杆受轴向载荷F1=30kN, F2=10kN。轴向拉伸和压缩 杆长l1= l2= l3=100mm，杆各横截面面积分别为 A1=500mm2, A2=200mm2, 弹性模量E=200 GPa。试 求杆的总伸长量。
解 ：⑴计算各段轴力 AB段和BC段的轴力分别为 FN1= F1 -F2=30-10 =20kN FN2= - F2=- 10kN 轴力图如图所示 ⑵计算各段变形
⑶求总变形
l = l AB + lBC + lCD = 0.02 - 0.01 - 0.025 = -0.015 mm
即整个杆缩短了0.015mm
例3-5 图所示连接螺栓，内径d1=15.3mm，被连接部分 的总长度l=54mm，拧紧时螺栓AB段的伸长Δ l=0.04mm， 钢的弹性模量E=200 GPa，泊松比μ =0.3。试求螺栓横 截面上的正应力及螺栓的横向变形。