实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。

2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。

3） 掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ （1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰（2）MATLAB 中可采用符号数学工具箱ztrans 函数和iztrans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztrans(F)求符号表达式F 的z 变换。

F=iztrans(Z)求符号表达式Z 的z 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ （3）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = （4）由（4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ （5） 3. 离散时间系统的零极点分析MATLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。

此外还可采用MATLAB 中zplane 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane 函数的调用格式为：zplane(b,a) b 、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量（行向量） zplane(z,p) z 、p 为零极点序列（列向量） 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性； 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。

系统的频率响应取决于系统函数的零极点，根据系统的零极点分布情况，可以通过向量法分析系统的频率响应。

因果的离散时间系统稳定的充要条件是H(z)的全部极点位于单位圆内。

三、实验内容（1） 已知两个因果离散时间系统的系统函数，采用MATLAB 画出零极点分布图，求解系统的冲激响应h(n)和频率响应(e)j H Ω，并判断系统是否稳定。

1）23221()0.50.0050.3z z H z z z z ++=--+ >> b=[1 2 1];>> a=[1 -0.5 -0.005 0.3]; >> zplane(b,a)>> impz(b,a)全部极点都在单位圆内，系统稳定。

>> [H,w]=freqz(b,a); >> subplot(211)>> plot(w/pi,abs(H)); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Magnitude'); >> title('|H(e^j^\Omega)|'); >> grid on>> subplot(212)>> plot(w/pi,angle(H)/pi); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Phase(\pi)'); >> title('theta(\Omega)'); >> grid onReal PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p l i t u d eω(π)M a g n i t u d e|H(e j Ω)|ω(π)P h a s e (π)theta(Ω)2）324322()3331z z H z z z z z -+=+-+->> b=[1 -1 0 2]; >> a=[3 3 -1 3 -1]; >> zplane(b,a)>> impz(b,a)有极点在单位圆外，系统不稳定。

>> [H,w]=freqz(b,a); >> subplot(211)>> plot(w/pi,abs(H)); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Magnitude'); >> title('|H(e^j^\Omega)|'); >> grid on>> subplot(212)>> plot(w/pi,angle(H)/pi); >> xlabel('\omega(\pi)'); >> ylabel('Phase(\pi)'); >> title('theta(\Omega)'); >> grid on（2） 用MATLAB 绘制以下六种情况系统函数的零极点分布图，并绘制相应单位抽样响应的时域波形，观察分析系统函数极点位置对单位抽样响应时域特性的影响和规律。

1） z=0,p=0.25b=[1 0]; a=[1 -0.25]; subplot(211)zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)Real PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p l i t u d eImpulse Responseω(π)M a g n i t ud e|H(e j Ω)|ω(π)P h a s e (π)theta(Ω)2） z=0,p=1b=[1 0]; a=[1 -1]; subplot(211)zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)3） z=0,p=-1.25b=[1 0]; a=[1 1.25]; subplot(211)zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)Real PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p l i t u d eReal PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p li t u d eReal PartI m a g i n a r y P a r t6n (samples)A m p l i t u d eImpulse Response4）66120,0.8,0.8jjz p ep eππ-===b=[1 0];a=poly([0.8*exp(j*pi/6) 0.8*exp(-j*pi/6)]); subplot(211)zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)5）88120,,jjz p ep eππ-===b=[1 0];a=poly([exp(j*pi/8) exp(-j*pi/8)]); subplot(211)zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)6）3344120, 1.2,jj z p ep eππ-===b=[1 0];a=poly([1.2*exp(j*3*pi/4) 1.2*exp(-j*3*pi/4)]); subplot(211)zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)Real PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p l i t u d eImpulse ResponseReal PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p l i t u d eImpulse Response综合分析以上六个图可知：如果只有一个极点，响应波形为指数型。

当极点在单位圆内时，呈指数衰减；当极点在单位圆上，为定值（单位阶跃响应）；当极点在单位圆外时，呈指数增长。

如果有一对共轭极点，响应为振荡型。

当极点在单位圆内，呈衰减振荡；当极点在单位圆上，为等幅振荡；当极点在单位圆外时，呈增幅振荡（3） 以下两个系统具有相同的极点，但零点不同，用MATLAB 分别绘制两个系统的零极点分布图及相应单位抽样响应的时域波形，观察分析系统函数零点位置对单位抽样响应时域特性的影响。

1）66(z 2)(z)(z 0.8e )(z 0.8e)jjz H ππ-+=--b=poly([0 -2]);a=poly([0.8*exp(j*pi/6) 0.8*exp(-j*pi/6)]); subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)Real PartI m a g i n a r y P a r t6n (samples)A m p l i t u d eImpulse ResponseReal PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p l i t u d eImpulse Response2）66(z 2)(z)(z 0.8e )(z 0.8e)jjz H ππ--=--b=poly([0 2]);a=poly([0.8*exp(j*pi/6) 0.8*exp(-j*pi/6)]); subplot(211) zplane(b,a); subplot(212) impz(b,a)分析以上两图可知：当零点沿纵轴对折时，时域波形图近似沿横轴对折。

但只是波形的对称，各点的值并没有等幅改变。

四、实验收获与体会本次实验通过MATLAB 实现z 变换及其反变换，进一步加深了对z 域分析法的理解，理清了系统零极点分布与系统特性的关系。

Real PartI m a g i n a r y P a r tn (samples)A m p l i t u d e。