四年级数学A班奥数专题->“最大与最小”问题在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。
在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。
例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。
相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。
显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。
例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。
经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。
结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m 个乘数相等或最相近时，其和最小。
例3试求和为8，积为最大的两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：1+7、2+6、3+5、4+4。
相对应的两个加数的积是：1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。
显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。
例4试求和为13，积为最大的两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。
经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。
例5砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。
如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。
要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。
而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。
所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。
这时晒谷场的面积是：14×14=196（平方米）例6要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场。
如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？分析与解要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积6400平方米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是80米）时，周长才最小。
所以，只有当养鸡场的长和宽都为80米时，所用毛竹最省。
这时所需毛竹是：30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克）例7用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。
分析与解用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数的千位数，7和6应分别作百位数，但7和6分别放在9和8谁的后面呢？因为：97+86=183，96+87=183，它们的和相等。
又有：97-86=11，96-87=9显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。
所以，96与87的乘积一定大于97与86的乘积。
所以，7应放在8后面，6应放在9后面。
同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是9642和8753。
它们的积是9642×8753=84396426例8试比较下列两数的大小：a=8753689×7963845b=8753688×7963846分析与解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。
仔细观察两数会发现，a中两个因数的和与b中两个因数的和相等。
因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少，更相近。
很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。
专题训练（十二）1、用四张纸片：1、9、9和5，可组成的四位数中，则最小的数与最大的数之和是。
2、把47个苹果分放在盘内，要求每个盘子都有苹果，且个数不相同，这些苹果最多可放多少盘？3、七人参加数学竞赛，共得110分，但每人得分都不相等，最高分是20分，得分最低的至少是多少分？4、小明看一本90页的童话故事，每天看的页数不同，而且一天中最少看3次，那么小明看完这本书最多需要几天？5、把自然数1、2、3、4、……、39、40依次排列，1234567891011……3940，划去65个数字得到的多位数最大是多少？6、a、b是两个自然数，a+b=16，那么a×b最大是多少？7、a、b是两个自然数，a×b=49，那么a+b最小是多少？8、用40厘米长的铁丝围成的长方形中，最大一个面积是多少？9、教室一个窗户的面积是225平方分米，怎样设计窗户的形状和尺寸最省材料？10把16拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的积尽量大，应如何拆？50呢？11、在下面的一排数字之间添上五个加号，组成一个连加算式，求这个连加算式的结果的最小值。
1 2 3 4 5 6 7 8 912、三个两位的连续偶数，它们的个位数字的和是7的倍数，这三个数的和最少是多少？“抽屉原理”教学设计【教学内容】《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第68页。
【教学目标】1.经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2. 通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。
3. 通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重点】经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教具、学具准备】每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。
【教学过程】一、课前游戏引入。
师:同学们在我们上课之前,先做个小游戏:老师这里准备了4把椅子,请5个同学上来,谁愿来?(学生上来后)师:听清要求,老师说开始以后,请你们5个都坐在椅子上,每个人必须都坐下,好吗?(好)。
这时教师面向全体,背对那5个人。
师:开始。
师:都坐下了吗?生:坐下了。
师:我没有看到他们坐的情况,但是我敢肯定地说:“不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗?生:对!师:老师为什么能做出准确的判断呢?道理是什么?这其中蕴含着一个有趣的数学原理,这节课我们就一起来研究这个原理。
下面我们开始上课,可以吗?二、通过操作,探究新知(一)教学例11.出示题目:有3枝铅笔,2个盒子,把3枝铅笔放进2个盒子里,怎么放?有几种不同的放法?师:请同学们实际放放看,谁来展示一下你摆放的情况?(指名摆)根据学生摆的情况,师板书各种情况(3,0) (2,1)师:5个人坐在4把椅子上,不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学。
3支笔放进2个盒子里呢?生:不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝笔?是:是这样吗?谁还有这样的发现,再说一说。
师:那么,把4枝铅笔放进3个盒子里,怎么放?有几种不同的放法?请同学们实际放放看。
(师巡视,了解情况,个别指导)师:谁来展示一下你摆放的情况?(指名摆)根据学生摆的情况,师板书各种情况。
(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1),师:还有不同的放法吗?生:没有了。
师:你能发现什么?生:不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:“总有”是什么意思?生:一定有师:“至少”有2枝什么意思?生:不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝?师:就是不能少于2枝。
(通过操作让学生充分体验感受)师:把3枝笔放进2个盒子里,和把4枝笔饭放进3个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
这是我们通过实际操作现了这个结论。
那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?学生思考——组内交流——汇报师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?组1生:我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)师:同学们自己说说看,同位之间边演示边说一说好吗?师:这种分法,实际就是先怎么分的?生众:平均分师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)生1:要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在那个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。
生2:这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?师:同意吗?那么把5枝笔放进4个盒子里呢?(可以结合操作,说一说)师:哪位同学能把你的想法汇报一下,生:(一边演示一边说)5枝铅笔放在4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:把6枝笔放进5个盒子里呢?还用摆吗?生:6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:把7枝笔放进6个盒子里呢?把8枝笔放进7个盒子里呢?把9枝笔放进8个盒子里呢?……:你发现什么?生1:笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:你的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。
2.解决问题。
(1)课件出示:5只鸽子飞回4个鸽笼,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里,为什么?(学生活动—独立思考自主探究)(2)交流、说理活动。
师:谁能说说为什么?生1:如果一个鸽笼里飞进一只鸽子,最多飞进4只鸽子,还剩一只,要飞进其中的一个鸽笼里。
不管怎么飞,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。
生2:我们也是这样想的。
生3:把5只鸽子平均分到4个笼子里,每个笼子1只,剩下1只,放到任何一个笼子里,就能保证至少有2只鸽子飞进同一个笼里。
生4:可以用5÷4=1……1,余下的1只,飞到任何一个鸽笼里都能保证至少有2只鸽子飞进一个个笼里,所以,“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的。
师:许多同学没有再摆学具,证明这个结论是正确的,用的什么方法?生:用平均分的方法,就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个个笼里”。
师:同意吗?(生:同意)老师把这位同学说的算式写下来,(板书:5÷4=1……1)师:同位之间再说一说,对这种方法的理解。