第40周数学开放题一、知识要点数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种题型。

由于客观世界复杂多变，数学问题也必然复杂多变，往往不可能得到唯一答案。

一般而言，数学开放题具有以下三个特征：1．条件不足或多余；2．没有确定的结论或结论不唯一；3．解题的策略、思路多种多样。

解答数学开放题，需要我们从不同角度分析和思考问题，紧密联系实际，具体问题具体分析。

我们一般可以从以下几方面考虑：1．以问题为指向，对现有条件进行筛选、补充和组合，促进问题的顺利解决；2．根据知识之间的不同联系途径对给定的条件进行不同的组合，采用不同的方法求解；3．避免“答案唯一”的僵化思维模式，联系实际考虑可能出现的多种情况，得出不同的答案。

二、精讲精练【例题1】A、B都是自然数，且A＋B＝10，那么A×B的积可能是多少？其中最大的值是多少？【思路导航】由条件“A、B都是自然数，且A＋B＝10”，可知A的取值范围是0～10，B的取值范围的10～0。

不妨将符合题意的情形一一列举出来：0×10＝0 1×9＝9 2×8＝16 3×7＝21 4×6＝24 5×5＝25A×B的积可能是0、9、16、21、24、25。

当A＝B＝5时，A×B的积的最大值是25。

从以上过程发现，当两个数的和一定时，两个数的差越小，积越大。

练习1：1．甲、乙两数都是自然数，且甲＋乙＝32，那么，甲×乙的积的最大值是多少？16×16＝256答：甲×乙的积的最大值是256。

2．A、B两个自然数的积是24，当A和B各等于多少时，它们的和最小？24＝2×12＝3×8＝4×64＋6＝103＋8＝112＋12＝14答：当A＝4，B＝6或A＝6，B＝4时，它们的和最小，是10。

3．A、B、C三个数都是自然数，且A＋B＋C＝18，那么A×B×C的积的最大值是多少？当A＝B＝C＝6时，a×b×c的积最大。

6×6×6＝216答：A×B×C的积的最大值是216。

的和是9。

【思路导航】每条直线上三个圆圈内各数的和是9，两条直线上数的和等于9×2＝18（其中中间圈内的数重复加了一次）。

而1、2、3、4、5的和为15，18－15＝3，所以，中间圈内应填3。

这样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、3、5与2、3、4。

这个解我们也叫做基本解，由这个基本解很容易得出其余的几个解。

练习2：1．把1～5五个数分别填入图中的五个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数的和是10。

每条直线上三个圆圈内各数的和是10，两条直线上数的和等于10×2＝20（其中中间圈内的数重复加了一次）。

而1、2、3、4、5的和为15，20－15＝5，所以，中间圈内应填3。

这样，两条直线上的圆圈中可以分别填1、5、4与2、5、3。

等而且最大。

要使每条直线上三个圆圈内各数的和相等而且最大，那么中间圈内应填7。

这样，两条直线上的圆圈中可以分别填3、7、6与4、7、5。

3．把1～7七个数分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。

首先要确定中心圆内的数，设中心圆内的数是a，那么，三条线段上的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，由于三条线段上的和相等，所以（28＋2a）除以3应该没有余数。

由于28÷3＝9……1，那么2a除以3应该余2，因此，a可以是1、4或7。

【例题3】把1～6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9。

【思路导航】每边上三个数的和都等于9，三条边上数的和等于9×3＝27，27－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝6。

所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为6。

在1～6，只有1＋2＋3＝6，故三个顶点只能填1、2、3。

这样就得到一组解：1、5、3；1、6、2；3、4、2。

练习3：1．把1～6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于12。

每边上三个数的和都等于12，三条边上数的和等于12×3＝36，36－（1＋2＋3＋4＋5＋6）＝6。

所以，三个顶点处被重复加了一次的三个数的和为15。

在1～6，只有4＋5＋6＝15，故三个顶点只能填4、5、6。

这样就得到一组解：4、3、5；4、2、6；5、1、6。

2．把1～8八个数分别填入图中的八个圆圈中，使每个圆圈上五个数的和都等于21。

设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋8＋a＋b＝21×2，即36＋a＋b＝42，a＋b＝6。

在1～8这八个数中1＋5＝6，2＋4＝6。

当a和b是1和5时，每个大圆上另外三个数分别是（3，5，8，9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外三个数分别是（1，6，8）和（3，5，7）。

3．把1～9这九个数分别填入图中的九个圆圈中，使每条边上四个数的和相等而且最小。

要使每条边上四个数的和相等而且最小，顶点上的三个数只能是1、2、3，那么三边上数的总和是1＋2＋3＋……＋9＋（1＋2＋3）＝45＋6＝51，每条边上四个数的和是51÷3＝17，将剩下的4、5、6、7、8、9分别填入三边并使每条边上四个数的和是17，即1＋5＋9＋2＝2＋4＋8＋3＝1＋6＋7＋3。

【例题4】在一次羽毛球比赛中，8名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军。

共打了多少场比赛？（两名运动员之间比赛一次称为一场）【思路导航】8名运动员进行淘汰赛，第一轮赛4场后，剩下4名运动员；第二轮赛2场后，剩下2名运动员；第三轮只需再赛1场，就能决出冠军。

所以，共打了4＋2＋1＝7场球。

还可以这样想：8名运动员进行淘汰赛，每淘汰1名运动员，需要进行1场比赛，整个比赛共需要淘汰8－1＝7名运动员，所以共打了7场比赛。

练习4：1．在一次乒乓球比赛中，32名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共打了多少场球？32－1＝31（场）答：共打了31场球。

2．在一次足球比赛中，采取淘汰制，共打了11场球，最后决出冠军。

共有多少支足球队参加了这次比赛？11＋1＝12（支）答：共有12支足球队参加了这次比赛。

3．有13个队参加篮球赛，比赛分两个组。

第一组7个队，第二组6个队。

各组先进行单循环赛（即每队都要与其他各队比赛一场），然后由各组的前两名共4个队再分成两组进行淘汰赛，最后决出冠、亚军。

共需比赛多少场？第一组组内比赛的场数：7×（7－1）÷2＝21（场）第二组组内比赛的场数：6×（6－1）÷2＝15（场）淘汰赛的场数：4－1＝3（场）一共比赛的场数：21＋15＋3＝39（场）答：共需比赛39场。

【例题5】一个学生从家到学校，如果以每分钟50米的速度行走，就要迟到8分钟；如果以每分钟60米的速度前进，就可以提前5分钟到校。

这个学生出发时离上学时间有多少分？【思路导航】解答这道题，可以以不同的时间为标准，选择的标准不同，解答方法也有所不同。

例如，如果直接以这个学生出发时离上学的时间为标准。

可这样分析：由“每分钟行50米，要迟到8分钟”，可知学校上课时，这个学生还离学校50×8＝400米；由“每分钟行60米，可以提前5分钟到校”，可知距学校上课时，他还可走60×5＝300米。

两种不同的速度，在相同的时间内路程相差400＋300＝700米，而两种速度每分钟相差60－50＝10米。

因此，这个学生出发时离上课时间为：700÷10＝70分钟。

解法一：（50×8＋60×5）÷（60－50）＝70分；解法二：60×（5＋8）÷（60－50）－8＝70分；解法三：50×（8＋5）÷（60－50）＋5＝70分。

练习5：1．李老师从家到学校上班，出发时他看看表，发现如果步行，每分钟80米，他将迟到5分钟；如果骑自行车，每分钟行200米，他可以提前7分钟到校。

李老师出发时离上班时间有多少分？（80×5＋200×7）÷（200－80）＝15（分钟）答：李老师出发时离上班时间有15分钟。

2．一位小学生从家到学校，如果以每分50米的速度行走，就迟到3分钟；如果以每分70米的速度行走，就可以提前5分到校。

求他家到学校的距离。

（50×3＋70×5）÷（70－50）＝25（分钟）50×（25＋3）＝1400（米）答：他家到学校的距离是1400米。

3．一个学生从家到学校上课，先用每分钟80米的速度走了3分钟，发现这样走下去将迟到3分钟；于是他就改用每分钟110米的速度前进，结果比上课提前了3分钟。

这个学生家离学校有多远？先用每分钟80米的速度走了3分钟后需要多长时间到学校：（80×3＋110×3）÷（110－80）＝19（分钟）这个学生家离学校有多远：80×3＋80×19＋80×3＝2000（米）答：这个学生家离学校有2000米。