2π
2 π
N N = ， 为有理数 ② ω0 m m 2π sin[ω0 (n+ N)] = sinω0 n + m = sin(ω0n + m⋅ 2π) = sin(ω0n) + ω0 2π 周期： N sin(ω0n)仍为周期的 周期： = m ω0 2π ③ 为无理数
1 , δ (n − m) = 0,
n=0 n≠0
-2 -1
0 1 2
n
n=m n≠m
-2 -1
δ (n− m)
1
n 0 1 m
时移性
0, n ≠ j δ (n − j) = 1, n = j
比例性
cδ (n), cδ (n − j) f (n)δ (n) = f (0)δ (n)
n
25/8 Z(n) 9/4 3/2 3/2 .… … 1/4 -2 -1 0 1 2
2n , n < −1 3 z(n) = x(n) + y(n) = , n = −1 2 1 1 n 2 ( 2) + n +1, n ≥ 0
2．序列相乘
是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。
(3)．离散时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时 间信号；而时间和幅值都离散化的信号 称作为数字信号。 x(n) x(0) x(-1) x(1) x(2) n
x(-2)
-2
-1
0
1
2
2．序列 离散时间信号又称作序列 序列。通常，离散 序列 时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该 用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储 器中，加之非实时处理，可以用x(n)表示 x(nT)，即第n个离散时间点的值，这样x(n) 就表示一序列数，即序列：﹛x(n)﹜。 为了方便，通常用x(n)表示序列{x(n)}。
x(nT) = sin(
令 ω0 =
区别: 区别:
0 ω 0
0
0
nT)
T，离散正弦信号
x(n) = sin(ω0n)
连续域的正弦频率 离散域的频率
单位 弧度/ 秒 单位 弧度
ω0 ∈(− π，π )
2.1.2 序列的运算
1．序列相加
两序列的和是指同序号(n)的序列值 逐项对应相加得一新序列。
δ (t) = 0, t ≠ 0 定义： δ (t) → ∞, t = 0 ∞ ∫ ∞δ (t)dt = 1 −
取样特性：
∫
∞
−∞
f (t)δ (t −t0 )dt = f (t0 )
∞ −∞
t0 = 0时, ∫ f (t)δ (t)dt = f (0)
(2)频域卷积定理 频域卷积定理 若 Xa ( jΩ) = F[xa (t)], ∆T ( jΩ) = F[δT (t)], ˆ ˆ ˆ X ( jΩ) = F[x (t )] , xa (t ) = xa (t) ⋅δT (t),
序列的三种形式
x(n)
单边序列： n 单边序列： ≥ 0；
O
L n x(n)
双边序列：∞ ≤ n ≤ ∞； L − 双边序列：
O
L
n
x(n)
有限长序列： n 有限长序列： 1 ≤ n ≤ n2；
O
n1
n2
n
二．几种常用序列 1．单位抽样序列(单位冲激)δ (n)
δ (n)
1
1, δ (n) = 0,
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1 1 1 −n ( ) , n ≤1 x(−n) = 2 2 0, n >1
n
5．尺度变换 ． （1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以此类推。
6．序列的离散卷积 ．序列的离散卷积
卷积和计算分四步：折迭(翻褶)， 位移，相乘，相加。
2.2
连续时间信号的取样
2.2.1 取样器与取样 1.取样器
xa (t)
P(t)
ˆ xa (t)
τ
T号
ˆ xa (t)
脉 调 : xa (t) = xa (t) ⋅ p(t) 冲 幅 ˆ ˆ xa (t)取 信 样 号
m=−∞
∑δ (t − mT)
1
∞
1 ∞ jkΩst δT (t) = ∑e T k =−∞
1 ∞ jkΩst ∆T ( jΩ) = F[δT (t)] = F ∑e T k =−∞
π 2 = T
k =−∞
∑δ (Ω− kΩ )
s
∞
2
∆T ( jΩ)
Ωs = 2π T
…
−2Ωs −Ωs
第2章 离散时间信号分析
第2章 离散时间信号分析
• • • • • • 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 离散时间信号-序列 离散时间信号 序列 采样定理及其实现 离散时间信号的相关分析 离散时间信号的Z 离散时间信号的Z域分析 离散系统的描述与分析 物理可实现系统
2.1 离散时间信号 序列 离散时间信号-序列
{x(n)}与x(n)概念上有区别，但为了写方便，常以 x(n)
表示整个序列，在应用场合一般不会混淆。
数字 列 如 L0.9, 0.8,0.3,0.1L 序 ↑ n=0 有规 的 可 用函 表 : x(n) 则 , 以 数 示 表 段 长短 示 表 各序 值 大 列 的 小 波形 示: 线 的
z ( n) = x ( n) y ( n)
0, n < −1 1 z(n) = x(n) y(n) = , n = −1 2 1n 1 ( 2)(n +1)( 2) , n ≥ 0
3．序列移位
当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位；
x(n+m)表示依次左移m位。它是向右或向 左移动了一段距离。
• 2.1.1 序列、几种常用序列 几种常用序列 • 2.1.2 序列的运算
一．序列 1．信号及其分类 (1)．信号 信号是传递信息的函数，它可表示成 一 个或几个独立变量的函数。
如，f(x); f(t); f(x,y)等。
(2)．连续时间信号与模拟信号 在连续时间范围内定义的信号，幅值 为连续的信号称为模拟信号，连续时间信 号与模拟信号常常通用。
例:
x(n)
a−3
a2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
a6
δ(n+3) 位移加权和
a−3
0 n
δ(n-2)
a2
0
n
δ(n-6)
n
0
a6
2．单位阶跃序列 u（n）
1, u(n) = 0,
n≥0 n<0
u(n)
...
-1 0 1 2 3 n
δ (n) = ∇u(n) = u(n) −u(n −1)
∞ m=0
u(n) = ∑δ (n − m) = δ (n) +δ (n −1) +δ (n − 2) +L
3．矩形序列 RN (n)
1 , RN (n) = 0,
0 ≤ n ≤ N −1 其 n 他
1
−1 o 1 2 3
RN (n)
RN (n) = u(n) −u(n − N)
N−1 m=0
例：
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1 1 1 n+1 ( ) , n +1 ≥ −1 x(n +1) = 2 2 0, n +1 < −1
x(n)
1 1/2 1/4 1/8 ...
n
-2
-1 0
1
2
1 1 n ( ) , n ≥ −2 即 (n +1) = 4 2 x 0, n < −2
Ωs
…
Ωs 2Ωs
0
Ω
冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。
2．抽样信号的频谱 ．
2.实际取样与理想取样
xa (t)
0
t
p(t) 实际取样：
p(t)为脉冲序列
τ
0 T
…
t
ˆ xa (t)
1 fs = T
t
理想取样： p(t) = δT (t)（冲激序列）
…
t
ˆ xa (t)
1 fs = T
t
2.2.2 取样定理 1．预备知识 （1）冲激信号及其取样特性
δ (t)
(1) 0 t
( 正弦序列x 正弦序列xn) = sin(nω) 余弦序列： (n) = cos(nω0 ) x 0 余弦序列：
sin(nω0 ) 1 O 1 5 10 n sin(Ω0t )
−1
ω0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
2 π 当 0＝ , 则 列 10个 复 次 弦 络 数 。 ω 序 每 重 一 正 包 的 值 10
L
N −1 n
RN (n) = ∑δ (n − m) = δ (n) +δ (n −1) +L+δ [n − (N −1)]
4．单边指数序列
anu(n)
a >1
anu(n)
0< a <1 1
1 −1
O
1
2
3
4
n
−1 O
1
2
3
4
n
anu(n)
a < −1
anu(n)
−1 < a < 0
1 −1 O 1 2
3
1 4
n
−1 O