2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.ET问题导学--------------------------知识点一向量的概念思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小梳理向量与数量（1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示.思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？答案 0的模长为0,方向任意.思考3单位向量的模长是多少？答案单位向量的模长为1个单位长度.梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作X B⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用b , c).⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 .知识点三相等向量与共线向量思考1已知A B为平面上不同两点，那么向量AB和向量BAf等吗？它们共线吗?答案因为向量昭和向量BA方向不同，所以二者不相等•又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动•由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量•因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合•思考3若a// b, b// c,那么一定有a// c吗？答案不一定•因为当b= 0时，a, c可以是任意向量•梳理⑴相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量⑵平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量①记法：向量a平行于b,记作a//b.②规定：零向量与任一向量平行•(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量•也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆•类型一向量的概念例i下列说法正确的是( )A.向量AB与向量BA勺长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等答案 A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B, C, D都错误，A正确•故选A.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题•跟踪训练1下列说法正确的有•(1)若| a| = | b|，则a= b或a=—b；⑵ 向量AB^CD是共线向量，贝U A B C D四点必在同一条直线上;⑶向量ABW BA 是平行向量. 答案⑶解析(1)错误.| a | = | b |仅说明a 与b 的模相等，不能说明它们方向的关系 .(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 AB &必须在同一直线上，因此点 A B 、G D 不一定在同一条直线上•⑶ 正确•向量AB 和BA 是长度相等，方向相反的两个向量 •类型二共线向量与相等向量例2如图所示，△ ABG 勺三边均不相等，E 、F 、D 分别是AG AB BC 的中点•(1)写出与EF 共线的向量；⑵ 写出与EF 的模大小相等的向量；(3)写出与EF 相等的向量•解⑴因为E F 分别是AC AB 的中点, 1所以EF 綊j BC 又因为D 是BC 的中点，所以与 吝共线的向量有F^E BD DB D C CD , B C , C B⑵ 与&模相等的向量有F E, E3D, DB D C , C D ⑶ 与EF 相等的向量有C D反思与感悟(i)非零向量共线是指向量的方向相同或相反相等的向量一定共线•跟踪训练2 如图所示,O 是正六边形 ABCDE 的中心•(1)与0A 勺模相等的向量有多少个?(2)是否存在与OA 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个?⑶与0A 共线的向量有哪些?• (2)共线的向量不一定相等，但解（1）与0A勺模相等的线段是六条边和六条半径（如OB，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有 23个.⑵ 存在.由正六边形的性质可知，BC// AO/ EF,所以与OA勺长度相等、方向相反的向量有X Q 5D F E BC 共 4 个.⑶ 由⑵ 知，BC/ OA/ EF,线段OD AD与0A在同一条直线上，所以与OA共线的向量有EBCCB X，FE, AO O D DO A D DA 共 9 个.类型三向量的表示及应用例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了 100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了 200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.（1）作出向量X B B C CD⑵求|AD.解⑴向量屁BC CD如图所示.⑵ 由题意，易知A B W CD方向相反，故A B W A[共线，•••I X B = |CD,•••在四边形ABCD^ , AB綊CD•••四边形ABC曲平行四边形，• AD= BC, •I AD = | BC = 200 km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量 a ,每个小正方形的边长为 1.（1）试以B为终点画一个向量b,使b= a；（2）在图中画一个以A为起点的向量c ,使|c|=[ 5 ,并说出向量c的终点的轨迹是什么?解（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等（作图略）.⑵ 由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为：5的圆（作图1. 下列结论正确的个数是（ ） ①温度含零上和零下温度，所以温度是向量;②向量的模是一个正实数;③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量; ④ 若 |a |>| b |，则 a >b . A. 0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若 a ， b 中有一个为零向量，则 a 与b 必共线，故a 与b 不共 线，则应均为非零向量，故③对 • 2.下列说法错误的是（ ）A. 若 a = 0,则 | a | = 0B. 零向量是没有方向的C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的 答案 B解析 零向量的长度为 0,方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B 是错误的•3. 如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 ABW DC 勺关系是（A .AB = DC C .A B >D C答案 B 解析| AB 与|DC 表示等腰梯形两腰的长度，故相等 .4. 如图所示，以1X2方格纸中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中⑴写出与XF> AE 相等的向量；当堂训练B.| AB = |D Q D.AB^DC(2)写出与忌莫相等的向量.-> -> -> -> -> -> -> ->解⑴ AF= BE= CD, AE= BD(2) DA CF, FC厂规律与方法----- -------------------------------- ■]1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用•2.共线向量与平行向量是一组等价的概念•两个共线向量不一定要在一条直线上•当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量一一零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆课时作业一、选择题1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程•其中是向量的有( )A.2个B.3 个C.4个D.5个答案 C解析②③④⑤是向量•2.下列说法中正确的个数是( )①任一向量与它的相反向量不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0;③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等A.0B.1C.2D.3答案 C3.下列说法正确的是( )A.若a// b,贝U a与b的方向相同或相反B.若a / b, b / c,贝U a / cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若a= b, b = c,贝U a = c答案 D4.如图，在四边形ABC即，若云B= DC则图中相等的向量是( )A.疋与CBC .X C 与 B DD.°与 OC答案 D解析 •/ °B=OC •••四边形 ABCD 是平行四边形，••• AC BD 互相平分，••• °O= OC 5.如图，在菱形 ABCC 中，/ BA* 120° 则以下说法错误的是（ ）A.与AB 相等的向量只有一个（不含AB B •与AB 勺模相等的向量有 9个（不含AB C.BD 勺模恰为［°勺勺模的：3倍D .C BI DA 不共线答案 D解析 由于AB = D C ,因此与AB 相等的向量只有 D C ,而与AB 的模相等的向量有 D A De Ac , °B °D°D C A BC , B A 因此选项B 正确.而 Rt △ AOD 中, •••/ADO= 30°,A| D O =¥I DA ，故|DB = _.''3| DA ，因此选项 C 正确.由于CB = DA 因此cB<DA 是共线的，故选 D . 6.如图所示，四边形 ABCD CEFG CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 （ ）A.|= | E FB .A BI °共线 C.B ［与 EH 共线 D .°= F G 答案 C7. 以下命题：①| a |与| b |是否相等与a , b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定 是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量其中，正B. OB OD确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析②④错误•二、填空题8.在四边形ABCDh若AB= BC a |A B = | A[D，则四边形的形状为.答案菱形解析•/ XB=D C ••• AB綊DC•••四边形ABC[是平行四边形，•••|A B = I AD，•四边形ABCD是菱形.9.给出以下5个条件：①a = b；②| a| = | b| :③a与b的方向相反；④| a| = 0或| b| = 0:⑤a与b都是单位向量其中能使a // b成立的是.( 填序号)答案①③④解析相等向量一定是共线向量，故①能使 a / b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a / b；零向量与任一向量平行，故④成立10.如图，若四边形ABCC为正方形，△ BCE为等腰直角三角形，则：\A(1)____________________________ 图中与AB共线的向量有；⑵图中与AB相等的向量有__________ ；(3)________________________________ 图中与AB勺模相等的向量有；⑷图中与ECW等的向量有.答案⑴ 6C E3E, B A CD EB, A E E A⑵ D C E3E⑶ A A BE E B, DC C D X D DA BC CB⑷BD三、解答题11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地•rt(1) 画出X D 5C , CB X B(2) 求B 地相对于A 地的位置向量 解 ⑴向量死 DC CB AB 如图所示•⑵由题意知AD = B e••• AD 綊BC 则四边形ABCD^平行四边形,••• AB= DC 贝U B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东 60°,长度为6千米”12.如图，已知A A = B B = C C .求证：cn 1(2) X B = —, AC=—厂& 证明(1)••• A X = B A,••I A X | = | B E? |，且点 // B 目. 又•••点 A 不在B E?上，• AA // BB ,•四边形AA B' B 是平行四边形， • I X B = | A ' ~B ' |.同理 |AC = 1 &A| , I BC = 1 —&—A|.• △ ABC2AA 'B ' C'.⑵•/四边形 AA B ' B 是平行四边形， • AB// ———A，且 | AB = |———A|,••• AB=———.同理可证 AC= A——.13.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A, B 点C 为小正方形的顶点，且|AC = '5.(1)画出所有的向量(2)求|B C|的最大值与最小值.解(1)画出所有的向量A C如图所示(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C或C2时，| B C取得最小值，：12+ 22= ：5;②当点C位于点G或C6时，| B C取得最大值，：42+ 52= 41.所以| BC的最大值为，41，最小值为.''5.四、探究与拓展14.设a o，b o是两个单位向量，则下列结论中正确的是①a o= b o；②a o=—b o；③| a o| + | b o| = 2；④a。