Φ 22
Φ11 Φ 12 Φ 21 Φ 22
–
i1 +
N1 i2 u1 – +
N2 u2
二 . 互感系数和耦合电感元件的同名端 1 . 互感系数（ coefficient of mutual inductance ) 互感系数（ Ψ11= N1Φ11 Ψ12= N1Φ12 Ψ22= N2Φ22 Ψ21= N2Φ21 i1，N1→ Ψ11= N1Φ11 L1=Ψ11/i1 自感系数
& I 1 = 3.47∠150.530 A
–
如图，已知： 例2 如图，已知：R = 3Ω，R 2 = 5Ω， ωL1 = 7.5Ω， ωL2 = 12.5Ω， ωM = 8Ω，U = 50V 求该耦合电感的耦合系数k和该电路中各支路吸收的复功率 求该耦合电感的耦合系数 和该电路中各支路吸收的复功率 ~ 和 ~ S2 。 S1 耦合系素k为 解：耦合系素 为
2. 反向串联 同名端相联） （同名端相联）
i + + u – –
R1 u1 – + u2 R2 L2 * * L1 M +
i R u L –
u = R1i + L1 di − M di + L2 di − M di + R2 i dt dt dt dt = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) di = Ri + L di dt dt
法一： 法一：端口加电压源求 C 电压电流比值. 电压电流比值 法二：去耦等效 法二：
L1-M C
L2 -M M
R C
2. 列写下图电路的方程。 列写下图电路的方程。
& I1
+
M R1 • L1 L3 R3 L2 • R2
& I2
+ _
& U S1
_
& U S2
& I3
支路电流法： 支路电流法：
& & & I 3 = I1 + I 2 & & & & & R1 I 1 + jωL1 I 1 + jωL3 I 3 + R3 I 3 + jωM&2 = U S 1 I & & & & & R2 I 2 + jωL2 I 2 + jωL3 I 3 + R3 I 3+ jωM&1 = U S 2 I
时域形式： 时域形式：
di di u1 = L1 1 + M 2 dt dt
i2
di 1 di 2 u1 = L1 −M dt dt
u2 = M
di 1 di + L2 2 dt dt
u2 = − M
di 1 di + L2 2 dt dt
di1 L1 → 自感电压 dt
di 2 M → 互感电压 dt
u = R1 i + L1 di + M di + L2 di + M di + R2 i dt dt dt dt = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 + 2 M ) di = Ri + L di dt dt ∴ R = R1 + R2 L = L1 + L2 + 2 M
i + R u L –
•
M 1 L1 * 2 * L2
1 (L1–M) M
2 (L2–M)
3
3
特例: 特例: i + * L1 * L2 M L1+M L2+M
证明: 证明:
u
-
u = L1 di + M di dt dt + L2 di + M di dt dt = ( L1 + L2 + 2 M ) di dt
L = L1 + L2 + 2 M
•
I1
jω M * *
•
I1
I2
I2
+ +
j ω L1
•
+
j ω L2
•
+
•
U1
j ω L1
j ω L2
•
U2
U1
•
–
• • • •
–
j ωM I 2
•
+ –
+ –
j ωM I 1
•
U2
U 1 = jωL1 I 1 + jωM I 2 U 2 = jωL2 I 2 + jωM I 1
•
–
–
四、耦合系数 (coupling coefficient)k： ： k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。
电路理论Байду номын сангаас
主讲 谢榕
开课单位： 开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
第四章 互感耦合电路
主讲
谢榕
4. 1 耦合电感元件 4-1-1 两线圈线性定常耦合电感元件
一、 耦合现象与耦合电感元件
Φ11 Φ 21
N1 i1 + u11 – + N2 u21 –
Φ 12
N1 + u12 – i2 + N2 u22 –
i = i1 +i2
解得u, 的关系 的关系： 解得 i的关系：
( L1 L2 − M 2 ) di u= L1 + L2 + 2 M dt
( L1 L2 − M 2 ) Leq = ≥0 L1 + L2 + 2 M
如图，已知： 例1 如图，已知：R = 3Ω，R 2 = 5Ω， ωL1 = 7.5Ω， ωL2 = 12.5Ω， ωM = 6Ω，U = 50V。 求开关S打开和闭合时的电流 & 求开关 打开和闭合时的电流 I
N2 u2
Ψ11= N1Φ11
Ψ12= N1Φ12 Φs2 Ψ12
Ψ22= N2Φ22
L2=Ψ22 / i2 ψ12
M12 = i2
Ψ21= N2Φ21
i2，N2→ Ψ22
为线圈2对 的互感 为线圈 对1的互感
可以证明
M12=M21=M
i1 +
N1 i2 u1 – +
N2 u2 –
i2
⒉耦合电感元件的磁链-电流方程 耦合电感元件的磁链-
∴ k =1
,
M 2 = L1 L2
五、耦合电感元件的磁场能量
i1 + u1 _ * L1 M * L2
t
i2 + u2 _
p = u1i1 + u2 i2
在 t=0，其初始状态为零。 ，其初始状态为零。
1 2 1 2 W = ∫（u1i1 + u2 i2）dt = L1i1 ± M1i1i2 + L2 i2 0 2 2
证明: 证明:
1 (L1–M) M 3 2 (L2–M)
di1 di 2 u = L1 +M dt dt
di1 = ( L1 − M ) + M di dt dt
u = L2 di 2 di +M 1 dt dt
i2 = i - i1
di 2 = ( L2 − M ) + M di dt dt
i1 = i - i2
3 已知: ωL1 = ωL2 = 10Ω , ωM = 5Ω , R1 = R2 = 6Ω , U S = 6V , 已知: 求其戴维南等效电路。 求其戴维南等效电路。 M & L2 Z0 I R1 • L1 • – U1 + & + + + + & & R2 U & & US U oc U oc 2 – _ _ _
Φ
* 2 2'
• 1 * 1'
2
∆
3 3' • ∆
2'*
注意：线圈的同名端必须两两确定。 注意：线圈的同名端必须两两确定。
电路符号表示
M * L1 * L2 * L1 M L2 *
元件的电压、 三、元件的电压、电流方程
i1 + u1 _ * L1 M * L2 i2 + u2 _ i1 + u1 _ * L1 M L2 * i2 + u2 _
& I
+ jωM R1 * jωL1
打开时， 解：开关S打开时，耦合电感线圈为 开关 打开时 异名端顺接串联： 异名端顺接串联： & 令：U = 50∠00V ∠
& I = 1.52∠ − 75.960 A
& U
* jωL2 & I1 R2 S
开关S闭合时， 开关 闭合时，有 闭合时
& I = 7.79∠ − 51.50 A
二、三条支路共一点，其中两条支路存在互感的T型去耦电路 三条支路共一点，其中两条支路存在互感的T (a) 同名端相连接
•
I1
jω M * *
•
•
•
I2
I1
I2
1 j ω L1
2 j ω L2
1 jω (L1–M)
2 jω (L2–M) jω M
•
•
3
• •
I
•
3
•
I
U 13 = jω L1 I 1 + jω M I 2 U 23 = jωL2 I 2 + jωM I 1
Ψ1= Ψ11 + Ψ12 = L1 i1+ Mi2 Ψ2= Ψ22 + Ψ2 1= L2 i2+ Mi1