1 11 12 L1i1 M12i2
2 22 21 L2 i2 M 21i1
di1 di2 u1 u11 u12 L1 M dt dt di1 di2 u2 u21 u22 M L2 dt dt
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
同名端
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时 流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这 两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
11
s
0
i1
+
*
N1 u11
N2 N3 i2 i3 * △ △ – + u21 – + u31 –
di1 u21 M 21 dt
di1 u31 M 31 dt
k
M L1 L2

M2 ( Mi 1 )( Mi 2 ) 12 21 1 L1 L2 L1i1 L2 i2 11 22
耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关
互感现象
利用——变压器：信号、功率传递
避免——干扰
克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
3. 耦合电感上的电压、电流关系
当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈 两端产生感应电压。 当i1 、u11 、u21 方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感 应定律和楞次定律：
d11 di1 u11 L1 dt dt
自感电压
d21 di1 u21 M dt dt
互感电压
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压 均包含自感电压和互感电压：
L2 *
+ u2 _
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt
di 1 di 2 u2 M L2 dt dt
i1 M i2 L2 * + u2 _
di 1 di 2 u1 L1 M dt dt di1 di 2 u2 M L2 dt dt
i1 + u1 _ * L1 M i2 _
L L1 L2 2 M L L1 L2 2 M 0 M 1 ( L1 L2 ) 2
互感不大于两个自感的算术平均值。
R R1 R2
互感的测量方法： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： 全耦合时
L顺 L反 M 4
M L1 L2
2
L L1 L2 2 M L1 L2 2 L1 L2 ( L1 L2 )

U 23 jL2 I 2 jM I 1 jω( L2 M ) I 2 jM I

I I1 I2



i + u – i1 * L1
M
i1 *
i2 L2 + u – * L1
M
i2
*
L2
+ u –

I
jM j(L1－M)



I1

I2
j(L2－M) jM
注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法： (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两 个电流产生的磁场相互增强。
例
i
1* 1'

*
2
2'
1 *
1'
2

3 3'
2'*
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将 会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
同名端的实验测定：
例1
列写下图电路的回路电流方程。 R1 R2 + i1 uS － M C + ki1 －
* L1
* L2
解
i1
R1
+ 1 uS － 3 C M
R2
+ ki12 －
* L1
i + + R1 L1 u1 M – +* u i + R u – L L2 R2 u2 – –
1. 耦合电感的串联
（1） 顺接串联
*
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di dt Ri L di dt
I1
I2
2 j(L2-M) jM 3

1 j(L1-M)
1 jL1

3

I

I

U 13 jω L1 I 1 jω M I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I

U 23 jL2 I 2 jM I 1 jω( L2 M ) I 2 jM I
（1） 同侧并联
i
M i1 * L1
* i2 L2
di 1 di 2 u L1 M dt dt di 2 di 1 u L2 M dt dt
解得u, i 的关系：
+ u –
i = i1 +i2
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
等效电感：
i
+ u –
第7章 含有耦合电感的电路
重点 1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.空心变压器和理想变压器
Hale Waihona Puke 10.1互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收 音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的 变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌 握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
当 L1=L2 时 , M=L L=
4M
顺接
0
反接
在正弦激励下： j M j L1 R2 – +


I
+
R1

U1
*
*
j L2

U2
–
–
+
U

U ( R R ) I jω( L L + 2M ) I –
1 2 1 2



I
+
相量图： (a) 顺接
jω M I


( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
Leq 去耦等效电路
如全耦合：L1L2=M2 当 L1L2 ，Leq=0 (物理意义不明确) L1=L2 =L ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变)
（2） 异侧并联 + u –
i i1 * L1
M
i2
*
di1 di2 u L1 M dt dt di2 di1 u L2 M dt dt
1 11 L1i1 称L1为自感系数，单位亨H)。 (
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与 互磁链的代数和：
1 11 12 L1i1 M12i2
2 22 21 L2 i2 M 21i1
称M12、M 21为互感系数，单位亨H)。 (

I I1 I2



（2） 异名端为共端的T型去耦等效

I1
j M *



I2
2
I1
I2
2 j(L2＋M) －jM 3

1 jL1
* jL2

1 j(L1＋M)
3

I

I

U 13 jL1 I 1 jM I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I
0 t 1s 10t i1 20 10t 1 t 2 s 0 2 t
0 t 1s 100 t 50V di1 u( t ) R1i1 L 100 t 150V 1 t 2 s dt 2t 0
7.2
含有耦合电感电路的计算
R1

U1
*
j M j L1 R2 – +

*
j L2

U2
–
–
+
U
(b) 反接
U

U2

jω L2 I jω M I jω L1 I jω M I U R1 I U2



jω L2 I





R2 I


jω M I
R1 I jω L1 I
U 1



I
U1

I
R2 I
2. 耦合电感的并联
11
1. 互感
N1 i1 + u11 – + N2 u21 –
21
线圈1中通入电流i1 时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为 互感磁通。两线圈间有磁的耦合。
定义 ：磁链 (magnetic linkage)， =N
当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，与i 成正比,当只有 一个线圈时：
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再 考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
M * i1 M * i1 * + u21 –
di 1 u21 M dt
* –
u21 +
di 1 u21 M dt
例
+ u1 _
i1 * L1
M * L2
i2
i1
M * L1
i2
+ u2 _
+ u1 _
注 （1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与