平面直角坐标系与函数的概念◆【课前热身】1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（ ）．A ．(m ＋2，n ＋1)B ．(m －2，n －1)C ．(m －2，n ＋1)D ．(m ＋2，n －1)2.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为（ ）A． B． C．11)， D．1)3.点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为（ ）A ． (3,5)--B ． (5,3)C ．(3,5)-D ． (3,5) 4.函数y =x 的取值范围是（ ）A ．2x >-B ．2x -≥C ．2x ≠-D ．2x -≤5.在函数131y x =-中，自变量x 的取值范围是（ ） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13x >【参考答案】 1. D 2. C 3.D（第2题）4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，a 的范围是0a ≥；∴y =x 的范围由20x +≥得2x ≥-.5. C◆【考点聚焦】〖知识点〗平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题；2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题；3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点.2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系.3.平面直角坐标系：①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；②点P（a，b）到x轴的距离为│b│，•到y轴距离为│a│，；③各象限内点的坐标的符号特征：P（a，b），P•在第一象限⇔a>0且b>0，P在第二象限⇔a<0，b>0，P在第三象限⇔a<0，b<0，P在第四象限⇔a>0，b<0；④点P（a，b）：若点P在x轴上⇔a为任意实数，b=0；P在y轴上⇔a=0，b为任意实数；P在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=0；P在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b；⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B关于x轴对称⇔x1=x2，y1=－y2；A、B关于的y轴对称⇔ x1=－x2，y1=y2；A，B关于原点对称⇔x1=－x2，y1=－y2；AB∥x轴⇔y1=y2且x1≠x2；AB∥y轴⇔x1=x2且y1≠y2（A，B表示两个不同的点）．4.变量与函数：①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．②在某一变化的过程中有两个变量x与y，如果对于x在取值范围内取的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么说x是自变量，y是x的函数，函数不是数，•它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．⑤函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．这三种表示法各具特色，在应用时，•通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线．◆【考点链接】1. 坐标平面内的点与______________一一对应．2. 根据点所在位置填表（图）3. x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.4. P(x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________，关于原点对称的点坐标为___________.5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．7. x y =有意义，则自变量x 的取值范围是 . xy 1=有意义，则自变量x 的取值范围是 . ◆【典例精析】例1. 已知点A （a ，－5），B （8，b ）根据下列要求，确定a ，b 的值． （1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于原点对称；（3）AB ∥x 轴；（4）A ，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．【分析】（1）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．【答案】解：（1）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于y 轴对称时有：85A B A Bx x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩（2）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于原点对称时有85A BA B x x a y y b =-=-⎧⎧∴⎨⎨=-=⎩⎩ （3）当AB ∥x 轴时，有85A BA B x x a y y b ≠≠⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩（4）当A ，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：x A =y B 且x A =y B 即a=－5，•b=8．【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．例2.如图所示，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt △ABO 的内心的坐标．【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．【答案】解：∵A （0，6），B （－8，0），∴OA=6，OB=8， 在Rt △ABO 中，AB 2=OA 2+OB 2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）． 设Rt △ABO 内切圆的半径为r ， 则由S △ABO =12×6×8=24，S △ABO =12r （AB+OA+OB ）=•12r ，知r=2， 而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）． 【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．例3 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，•她9•点离开家，15点回到家，请根据图象回答下列问题：（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ （2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？ （3）第一次休息时，离家多远？ （4）11：00到12：00她骑了多少千米？（5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？ （6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？ （7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？（8）返回时的平均速度是多少？【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段CD 和EF 与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题．【答案】解：（1）由图象知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km ； （2）由线段CD 平行于横轴知，10：30开始休息，休息半个小时；（3）第一次休息时离家17km；（4）从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13km（30－17=13）；（5）由图象知，9：00～10：00共走了10km，速度为10km/h，10：00～10：30•共走了7km，速度为14km/h；（6）她在12：00～13：00时停止前进并休息用午餐；（7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）；（8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h．【点评】如图a所示，表示速度v与时间t的函数图象中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止．如图b所示，•表示路程s与时间t的函数图象中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，•③代表物体反向运动直至回到原地．(a) (b)◆【迎考精练】一、选择题1.（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）A.（2，2）B.（2，4）C.（4，2）D.（1，2）2.（北京市）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D.E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）3.（天津市）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ） A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--， 4.（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）5.(黑龙江牡丹江)如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）A .B .C .D .D C P BA第4题A ．B ．C ．D ．6.（浙江杭州）两个不相等的正数满足2=+b a ，1-=t ab ，设2)(b a S -=，则S 关于t 的函数图象是（ ）A ．射线（不含端点）B ．线段（不含端点）C ．直线D ．抛物线的一部分7.（山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，．按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--，B ．()53，C ．()53-，D ．()53-，8.（山东青岛）一艘轮船从港口O 出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B ．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B 所在位置的坐标是（ ）．A．5030)， B．(3050)， C． D．(30，9.（山东东营）如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )A.（0，0）B.（22，22-） C.（－21，－21） D.（－22，－22） 10.(陕西省)如果点P(m ，1-2m)在第四象限，那么m 的取值范围是 ( )A ．210<<m B ．021<<-m C ．0<m D ．21>m 11.(四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°（第9题图）得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限12.（山东威海）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．513.（湖北襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，则与点B '关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()01-，B ．()11，C ．()21-，D ．()11-，14．（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，P ⊙与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P ⊙于M ，N 两点．若点M 的坐标是（21-，），则点N 的坐标是（ ） A ．(24)-， B. (2 4.5)-， C.(25)-， D.(2 5.5)-，15.（浙江杭州） 已知点P （x ，y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）)xA ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限 16.(广东肇庆)函数y =x 的取值范围是（ ）A ．2x >B ．2x <C ．2x ≥D ．2x ≤17.（浙江杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当2k ≥时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+=----+=--]52[]51[])52[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第棵树种植点的坐标为（ ）A ．（5，）B ．（6，2010）C ．（3，401）D （4，402） 二、填空题1.（湖北荆门）将点P 向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P '（1-，3），则点P 的坐标是______．2.（吉林省）如图，点A 关于y 轴的对称点的坐标是 ．3.（山东泰安）如图所示，△A ’B ’C ’是由△ABC 向右平移5个单位，然后绕B 点逆时针旋转90°得到的（其中A ’、B ’、C ’的对应点分别是A 、B 、C ），点A ’的坐标是（4，4）点B ’的坐标是（1，1），则点A 的坐标是 。