层次分析法应用于城市购房决策中的实例分析濮长飞南京晓庄学院04数本2班摘要：本文针对消费者购房这一具体问题，基于高等代数矩阵内容，立足于数学建模，通过具体实例的分析详细描述了采用层次分析法解决多目标决策问题的方法和步骤，为消费者的购房决策提供科学合理的办法。

关键词：成对比较矩阵；特征根；特征向量；层次分析法随着经济的发展，收入水平的增加，消费者对商品房的要求也在增加。

目前多数消费者购房有的因为工作，有的是为了改善居住环境，还有的是为了投资。

不管是什么原因，由于涉及金额巨大，购房需慎之又慎，以免花钱买后悔。

针对消费者的需求，房地产开发商也在不断地推出新的楼盘。

这些楼盘往往各有各的特点，这使得消费者经常因选房而筋疲力尽，生怕捡了芝麻丢了西瓜。

究其原因，主要是考虑的因素太多，价格、交通、环境等等。

如就价格而言，甲比乙便宜；而就交通而言，乙又不如甲，这就使得购房者难以做出孰优孰劣的判断。

但是，所有的购房者都想买到物美价廉的房子，这是总目标，如果我们能够对备选房源“物美价廉”的程度进行量化，就能通过简单的数值比较做出决策。

运用统计学中的层次分析法就能轻松解决这一决策难题。

一、层次分析法概述1 简介层次分析法是美国运筹学家萨蒂在20世纪70年代提出的一种实用的定性和定量相结合的多准则决策方法。

它是把复杂的决策按照目标层、准则层、子准则层、方案层的顺序表示为一个有序的递阶层次结构，通过人们的比较判断，计算各种决策方案在不同准则及总目标之下的相对重要性权重，从而把难以量化的各种方案定量化，以得到各种方案的相对优劣的排序值，并据此做出最后的决策。

2 层次分析法的基本步骤第一步：根据问题的性质和要求，提出一个总目标。

将目标逐层分解为几个层次，建立层次结构模型。

第二步：对同一层次的各元素关于上一层次某一准则的重要性进行两两比较并赋权值，构造成对比较矩阵。

设某层有n 个因素1{,,}n x X X =，要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的比重。

上述比较是两两因素之间的比较，比较时取1~9尺度。

用ij a 表示第i 个因素相对于第j 个因素的比较结果， 则1111()n ij n nn nn a a A a a a ⨯⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， A 称为成对比较矩阵。

比较尺度：(1~9尺度的含义)第三步：针对某一准则，计算各方案的相对权重，即层次单排序，并进行一致性检验。

定义一致性指标1nCI n λ-=-其中λ为最大特征根，n 为矩阵阶数。

随机一致性指标RI 的数据如下：一般地，当一致性比率0.1CICR RI=<时，检验通过，可用其归一化特征向量作为权向量。

第四步：计算各层元素对总目标的合成权重，即层次总排序。

设A 层m 个因素12,,,m A A A ，对总目标Z 的排序为12,,,m a a a ，B 层n 个因素对上层A中因素为j A 的层次单排序为12,,,j j nj b b b ，1,2,,j n =B 层的层次总排序为：1B ： 1112121m m a b a b a b +++ 2B ： 1212222m m a b a b a b +++n B ： 1122n n m nm a b a b a b +++即B 层第i 个因素对总目标的权值为1mj ijj a b=∑。

二、实例分析某公司部门主管毕业五年后欲在南京市购买一套商品房，由于南京市每个区的情况不一样，他要先确定在哪个区买，等地点确定后再确定在哪个楼盘买。

以下是他确定地点需要参考的五个标准：A1 交通状况 A2环境质量 A3 配套设施 A4 子女教育 A5 价格,m ma1,,m b 222,,m b ,,nm b有三个可供选择的方案：B1 江宁区 B2鼓楼区 B3栖霞区决策者要分析和解决的问题是如何合理选择一套自己较满意的住房。

因此要对上述三种方案进行分析，按优劣顺序选择最佳方案。

1 建立层次结构模型：上述五个标准都是该购房者在选择住房时应考虑的因素，其目的是要选择购买合适的住房。

据此可以建立层次分析结构模型如下图：2 构造六个成对比较矩阵如下表：表1 表2表3 表4表5 表63 层次单排序，并进行一致性检验求解各元素排序权重的方法有很多，本文采用最大特征根法，即用最大特征根对应的特征向量归一化后作为权向量。

由MATLAB 软件算得结果如下：（以下各特征根及特征向量依次对应于表格1~6）1 5.2036λ= {0.1885,0.2817,0.0770,0.8351,0.4264}a =2 3.0649λ= 1{0.1013,0.9140,0.3928}b =3 3.0070λ= 2{0.9331,0.1226,0.3382}b =4 3.0649λ= 3{0.1067,0.9628,0.2483}b =5 3.0385λ= 4{0.1506,0.9161,0.3715}b =6 3.0713λ= 5{0.9643,0.0821,0.2517}b = 接下来进行一致性检验：11 5.203650.0509151nCI n λ--===-- 110.05090.0450.11.12CI CR RI ===<22 3.064930.03245131n CI n λ--===-- 220.032450.0560.10.58CI CR RI ===<33 3.007030.0035131n CI n λ--===-- 330.00350.0060.10.58CI CR RI ===<44 3.064930.03245131n CI n λ--===-- 440.032450.0560.10.58CI CR RI ===<55 3.038530.01925131n CI n λ--===-- 550.019250.0330.10.58CI CR RI ===<66 3.071330.03565131n CI n λ--===-- 660.035650.0610.10.58CI CR RI ===<可以认为检验通过，将六个特征向量归一化得权向量：'{0.1043,0.1557,0.0426,0.4617,0.2357}a = '1{0.0719,0.6491,0.2790}b ='2{0.6694,0.0880,0.2426}b ='3{0.0810,0.7306,0.1884}b ='4{0.1047,0.6370,0.2583}b ='5{0.7429,0.0632,0.1939}b =由上可知，就选房而言，子女教育是最重要的，其次为房价；而就交通状况鼓楼区最好；环境质量江宁区最优；配套设施鼓楼区最齐全；子女教育鼓楼最佳；房价江宁最便宜。

4 层次总排序于是，可计算出各待选方案关于总目标的排序：0.07190.66940.08100.10470.74290.10430.64910.15570.08800.04260.73060.46170.63700.23570.06320.27900.24260.18840.25830.1939{0.339,0.422,0.239}⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=综合考虑购房要求，应在鼓楼区买房。

此人已决定在鼓楼买房，接下来就要确定在哪个楼盘买。

以下是他确定楼盘的五个标准： D1 内部结构 D2小区环境 D3 楼层 D4 地段 D5 面积 有三个可供选择的房源：E1 房源甲 E2房源乙 E3房源丙 同样地，第一步：先建立层次结构模型：第二步：构造成对比较矩阵：表7 表8表9 表10表11 表12第三步：层次单排序，并进行一致性检验，仍然采用最大特征根法 算得结果如下：（以下各特征根及特征向量依次对应于表格7~12）7 5.2376λ= {0.1593,0.4228,0.0722,0.8624,0.2169}d = 8 3.0055λ= 1{0.8902,0.4132,0.1918}e = 9 3.0037λ= 2{0.1640,0.4629,0.8711}e = 10 3.0000λ= 3{0.8729,0.4364,0.2182}e = 11 3.0183λ= 4{0.2762,0.7238,0.6323}e = 12 3.0000λ= 5{0.4082,0.8165,0.4082}e = 一致性检验：77 5.237650.0594151nCI n λ--===-- 770.05940.0530.11.12CI CR RI ===<88 3.005530.00275131n CI n λ--===-- 880.002750.00470.10.58CI CR RI ===<99 3.003730.00185131n CI n λ--===-- 990.001850.00320.10.58CI CR RI ===<1010 3.000030131n CI n λ--===-- 101000.000.10.58CI CR RI ===<1111 3.018330.00915131n CI n λ--===-- 11110.009150.020.10.58CI CR RI ===<1212 3.000030131n CI n λ--===-- 121200.000.10.58CI CR RI ===<可以认为一致性检验通过，将特征向量归一化得：'{0.0919,0.2439,0.0416,0.4975,0.1251}d = '1{0.5954,0.2763,0.1283}e ='2{0.1095,0.3090,0.5815}e ='3{0.5715,0.2857,0.1428}e ='4{0.1692,0.4434,0.3874}e ='5{0.2500,0.5000,0.2500}e =由上可知，选择房源地段最重要，其次是小区环境；就内部结构而言房源甲最稳固；小区环境房源丙最佳；楼层房源甲最适宜；地段房源乙最好；面积房源乙最理想。

第四步：层次总排序三个备选房源对于总目标的排序为：0.59540.10950.57150.16920.25000.09190.27630.24390.30900.04160.28570.49750.44340.12510.50000.12830.58150.14280.38740.2500{0.221,0.396,0.383}⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=可以看出，房源乙是最佳选择。