线面角与线线角【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法； 3、一些常见模型中的角之间的关系。

【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角答案：D 。

解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为22。

（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个答案：B 。

解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。

（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º答案：B 。

解析将BC 1平移到E 1F 即可。

（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。

答案：AC ⊥BD 。

解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。

（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.答案：16或64。

解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。

例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。

（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。

答案：（I ）连结DF ，DC ∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴CC 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD ⊥平面BB 1C 1C ∴DF 为EF 在平面BB 1C 1C 上的射影，在△DFC 1中，∵DF 2＝BF 2＋BD 2＝5a 2，21DC ＝21CC ＋DC 2＝10a 2，21FC ＝B 1F 2＋211C B ＝5a 2， ∴21DC ＝DF 2＋21FC ，∴DF ⊥FC 1 FC 1⊥EF（II ）∵AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠DFE 是EF 与平面BB 1C 1C 所成的角 在△EDF 中，若∠EFD ＝60°，则ED ＝DFtg60°＝3·a 5＝a 15， ∴a 15＞a 3，∴E 在DA 的延长线上，而不在线段AD 上 故线段AD 上的E 点不能使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角。

例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC=2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; 答案： (Ⅰ)证: ∵侧面PAB ⊥底面ABCD, 且侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, 在矩形ABCD 中, BC ⊥AB ，.∴BC ⊥侧面PAB.(Ⅱ)证: 在矩形ABCD 中, AD ∥BC, BC ⊥侧面PAB, ∴AD ⊥侧面PAB. 又AD ⊂平面PAD, ∴侧面PAD ⊥侧面PAB.(Ⅲ)解: 在侧面PAB 内, 过点P 做PE ⊥AB, 垂足为E, 连结EC, ∵侧面PAB 与底面ABCD 的交线是AB, PE ⊥AB, ∴PE ⊥底面ABCD. 于是EC 为PC 在底面ABCD 内的射影. ∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成的角. 在△PAB 和△BEC 中, 易求得PE=3, EC=3.在Rt △PEC 中, ∠PCE=45°.例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。

如图,3:4:,65cos ==∠PB PA ABC 求直线PB 和平面PAC 所成角的大小. 答案：A BCD PBC H S3030,21525sin ,,,9025cos 3,5,3,4所成的角为和平面即直线中在所成的角和面是面面又即的直径是则设PAC PB BPC x xBPC BPC Rt PAC PB BPC PACBC BC PA ABC PA AC BC ACB O AB x ABC x BC x PB x AB x PA =∠∴==∠∆∠∴⊥∴⊥∴⊥⊥=∠∴Θ=∠====【课内练习】1．若平面α外的直线a 与平面α所成的角为θ，则θ的取值范围是 （ ） （A ）)2,0(π（B ）)2,0[π（C ）]2,0(π（D ）]2,0[π答案：D 。

解析：a 和α平行，a 和α斜交。

2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1 的中点，则直线OM ( )A 是AC 和MN 的公垂线B 垂直于AC 但不垂直于MN C 垂直于MN ，但不垂直于ACD 与AC 、MN 都不垂直 答案：A 。

解析：易证OM ⊥AC ，OM ⊥MN 。

3．设正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：C 。

解析：连AC 、BD 交于O ，连OE ，则OE//SC.︒=∠∴=⋅⋅-+=∠∴===60,21222223212cos ,22,23,222BEO BEO OE OB BE 4．异面直线a , b 所成的角为︒60，过空间一定点P ，作直线L ，使L 与a ,b 所成的角均为︒60，这样的直线L 有 条。

答案：三条。

解析：如换成50°，70°呢。

5．已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，D 是底面三角形内一点，且 ∠DPA=450，∠DPB=600，则∠DPC=__________。

答案：600 。

解析：以PD 为对角线构造长方体6．正方体AC 1中，过点A 作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相 等，试写出满足条件的一个截面____________答案：面AD 1C 。

解析：可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD 1C ， 7．如图，四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB 的中点，求：（1）BC 与平面SAB 所成的角；（2）SC 与平面ABC 所成角的正弦值。

解析：（1）∵SC ⊥SB ，SC ⊥SA ，∴SC ⊥平面SAB 。

于是SB 就是直线BC 与平面SAB 所成的角，为60°。

（2）联结SM ，CM ，∵在Rt △SAB 中，∠SBA=45°，∴SM ⊥AB ，∴AB ⊥平面SCM 。

作SH ⊥CM 于H ，则AB ⊥SH ，故SH ⊥平面ABC ，所以∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

设SA=a ，则SB=a ，3a ，SM=22a 。

在Rt △CSM 中，2222132CM SC SM a a =+=+272sin sin 772SM SCH SCM CM a ∠=∠===。

即SC 与平面ABC 所成角的正弦值为77。

8．如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长AB ＝2，侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ，⑴求证：A 1C ⊥平面BDE ；⑵求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值。

答案：⑴由三垂线定理可得，A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BE ⇒A 1C ⊥平面BDE⑵以DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立坐标系，则1(2,0,4)A ，(0,2,0)C(2,2,0)B ，∴1(2,2,4)AC =--，1(0,2,4)A B =- ∴11111130cos ,6A C AB AC A B A C A B⋅<>==⋅ 设A 1C平面BDE ＝K ，由⑴可知，∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成角，∴11130sin cos ,6A BK AC AB ∠=<>=9．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ；（Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值.答案：（Ⅰ）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC ≌△ABD ，BC=BD.取CD 的中点M ，连AM 、BM ，则CD ⊥AM ，CD ⊥BM. ∴CD ⊥平面ABM ，于是AB ⊥BD. （Ⅱ）由CD ⊥平面ABM ，则平面ABM ⊥平面BCD ，这样∠ABM 是AB 与平面BCD 所成的角. 在△ABC 中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，722=⋅-+=∴AC AB AC AB BC . 在△ACD 中，AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD 是正三角形，AM=3. 在Rt △BCM 中，BC=7，CM=1，6=∴BM ..362cos 222=⋅-+=∠∴BMAB AM BM AB ABM10．已知等腰∆ABC 中，AC = BC = 2，∠ACB = 120︒，∆ABC 所在平面外的一点P 到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC 与平面ABC 所成的角。

答案：设点P 在底面上的射影为O ，连OB 、OC ，则OC 是PC 在平面ABC 内的射影， ∴∠PCO 是PC 与面ABC 所成的角。

∵ P A = PB = PC ， ∴点P 在底面的射影是∆ABC 的外心， 注意到∆ABC 为钝角三角形，∴点O 在∆ABC 的外部， ∵AC = BC ，O 是∆ABC 的外心，∴OC ⊥AB在∆OBC 中，OC = OB ， ∠OCB = 60︒，∴∆OBC 为等边三角形，∴OC = 2在Rt ∆POC 中，cos ∠==PCO OC PC 12∴∠PCO = 60︒ 。