线线角和线面角
[重点]：确定点、斜线在平面内的射影。
[知识要点]：
一、线线角
1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a′//a,b′//b,则a′、b′所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.
2、范围:(0,]
3. 向量知识：
对异面直线AB和CD
(1)；
(2) 向量和的夹角<,>(或者说其补角)等于异面直线AB
和CD的夹角；
(3)
二、线面角
1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0,).
2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；
直线垂直平面它们所成角为，
3、范围: [0,]。
4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
6、向量知识
（法向量法）与平面的斜线共线的向量和这个平面的一个法向量的夹角<,>(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.
[例题分析与解答]
例1．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
分析：利用，求出向量的夹角,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
解：∵，，
∴
∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴
∴
又
∴
∴
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.
点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
例2．如图(1)，ABCD是一直角梯形，AD⊥AB，AD//BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.
(1)若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）
解法一：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD，又AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，∴BE⊥PD.
(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1））
易知，
∴BH//CD.
∵G、H分别为ED、AD的中点，
∴HG//AE
则∠BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，
而，，
，
在ΔBHG中，由余弦定理，得，
∴.
∴异面直线AE、CD所成角的大小为.
解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，
则，，，
，，
（1）证明：
∵
∴
∴
∴
（2）解：
∵
∴
∴异面直线AE、CD所成角的大小为
例3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，求BE1与DF1所成角的余弦值.
解：以D为坐标原点，为x,y,z轴，建立空间直角坐
标系D-xyz，
设正方体的棱长为4，则
D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).
则，
∴，
∵.
∴
∴BE1与DF1所成角的余弦值为
点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。
例4．在120°的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.
(1) 求直线AB和棱a所成的角；
(2) 求直线AB和平面Q所成的角
解：如图，作AC⊥a，BD⊥a，垂足分别为C，D
分别以的单位向量为空间的基底
过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，
∴CE⊥a，从而，得：∠ACE就是二面角P-a-Q的平面角，
∴,
依题设：设
(1)
∵,
又∵, ∴
展开：
∵,
∴m2+20+8=100，从而得
∴
∴异面直线与a所成的角为.
(2)
作AF⊥EC，交EC的延长线于F，
∴a⊥平面ACE，aÌ平面Q，
∴平面ACE⊥平面Q，
从而得：AF⊥平面Q，连结FB，
则∠ABF就是AB与平面Q所成的角，
∵上的射影为，
∴，∴，
在RtΔAFB中，，
∴直线AB和平面Q所成的角为：.
反馈练习：
1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（）
A.1个
B.无数个
C.一个或无数个
D.没有
2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角A—PB—C的二面角的余弦值是（）
A..
B.
C.
D.不能确定
3．正方体AC1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（）
A、B、C、D、
4．在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ΔABC的中心，SA=BC=2，则异面直线EF与AB所成的角是（）
A、60°
B、90°
C、45°
D、30°
5．已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所
成角的正弦值是（）
A、B、
C、D、
6、如图所示，M、N分别是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点.求MN与CD1
所成的角.
7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.
(1)求异面直线AB1与BC1的夹角；
(2)在直线CC1上求一点N，使MN^AB1.
参考答案：
1.C.
2.B.
3.A．
如图.：
依题意，可知：
设
由三角形法则，
∴
∴
∴直线ED与D1F的所成的角为.
4．A．
如图设
依题意可得：，
∵
∴
∴
也就是：异面直线EF与AB所成的角是60°.
5．B．
如图取AB中点E，连结CE，
由正三棱柱可知：CE⊥平面AA1B1B.
连结EB1，∴∠CB1E就是B1C与平面AA1B1B所成的角
设棱长AA1=1，设，
依题意可得：，
∵
∴
又∵
∴，
∴，
∴直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是.
6、解：
∵，，且
∴
∵，
∴
∴.
∴MN与CD1所成角为60°.
7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角.
解：
(1)求异面直线AB1与BC1所成的角，就是求向量的夹角，如图2
∵正三棱柱ABC-A1B1C1，
∴，
依题意，
从而得：
∴
∴
(2)设，如图3，
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持. 依题意可得：
∵
也就是：
∴
即
∴，
∴当时，AB1⊥MN.
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