系统辨识习题解答1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA 模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。

提示：① MA 模型z k D z u k ()()()=-1② 定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h 解：因为MA 模型z k D z u k ()()()=-1，其中n n z d z d d z D ---+++= 1101)(，从而 )()1()()(10n k u d k u d k u d k z n -++-+=所以当定义ττθ)](,),1(),([)(,],,,[10n k u k u k u k d d d n --== h ，则有最小二乘格式：)()()()()(0k e k h k e k h d k z ni i i +=+=∑=τ，其中e(k)是误差项。

2-3、设)}({k e 是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。

请解释如何用白噪声和表示定理把)(k e 表示成AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。

解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成)()()(111---=z C z D z H 即 )()()()(11k v z D k e z C --= 其中 c c n n z c zc z C ---+++= 1111)(d d n n z d zd z D ---+++= 1111)(根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：自回归模型（AR 模型）： )()()(1k v k e z C =- 平均滑动模型（MA 模型）： )()()(1k v z D k e -= 自回归平均滑去模型（ARMA 模型）： )()()()(11k v z D k e z C --=3－4、根据离散Wiener-Hopf 方程，证明∑-=∆-∆+=10221P N j P P P Mz j g N t a k g N t a N k R )(ˆ)(ˆ)()( 解：由于M 序列是循环周期为t N P ∆，12-=P P N ，t ∆为M 序列移位脉冲周期，自相关函数近似于δ函数，a 为M 序列的幅度。

设数据的采样时间等于t ∆，则离散Wiener-Hopf 方程为：∑∞=∆-=0)()(ˆ)(j M Mz t j k R j gk R 当M 序列的循环周期t N P ∆大于过程的过渡过程时间时，即P N 充分大时，离散Wiener-Hopf 方程可写成：∑-=∆-=10P N j M Mz t j k R j g k R )()(ˆ)(由于M 序列的自相关函数为⎪⎩⎪⎨⎧≠-==,2,,0,,2,,0,)(22P P P P P M N N k N a N N k a k R ，代入上式得∑∑-=-=∧∧∧∆-∆+=∆+∆-∆=102210222)(ˆ)(ˆ)1()()()()(P p N j PP P N j p pMz j gN ta k gN t a N t k g N a t j g N a t k g a k R4－ 证明：（1）1)]()()1()(1)[()1()()(--+-=k k k k k k k k Λh P h h P h P τ (2) 1)]()()()(1)[()()()1(--=-k k k k k k k k Λh P h h P h P τ， (3) 1)]()()1()(1)[()1()()()()(--+-=k k k k k k k k k k Λh P h h P h h P h τττ, (4) 1)]()()()(1)[()()()()1()( --=-k k k k k k k k k k Λh P h h P h h P h τττ, 解： (1) 由于11)]()()1()()[()1()()1()]()([)(--Λ+--=--=k k h k P k h k h k P k K k k h k K I k ττP P ，所以111)]()()1()(1)[()1(])]()()1()(1)[()()1()(1)[()1()()1()()]()()1()(1)[()()1()()1()()(---Λ-+-=Λ-+Λ---=-Λ-+Λ----=k k k k k k k k h k P k h k k h k P k h k h k P k h k P k h k k h k P k h k k h k P k h k P k k h P h h P h P τττττ（2）由于1)]()()1()(1)[()1()()(--+-=k k k k k k k k Λh P h h P h P τ，及)()()()1()(11k k k k k τh h P P Λ+-=--111111)]()()()(1)[()()]()()())1()()(1()()()())()1()((1[)]()()()(1)[()()]()()()()()()1()()()())()1()((1[)]()()()(1)[()()]()()()(1[)]()()()(1)][()()1()(1)[()()]()()1()(1)[()()()1(------Λ-=Λ----Λ--+Λ-=ΛΛ--Λ--+Λ-=Λ-⨯⨯Λ-Λ-+=Λ-+=-k k h k P k h k h k P k k h k P k P k P k P k h k k h k P k P k h k k h k P k h k h k P k k h k P k h k h k k P k h k k h k P k P k h k k h k P k h k h k P k k h k P k h k k h k P k h k k h k P k h k h k P k k k k k k k k ττττττττττττh P h h P h P（3）由于1)]()()1()(1)[()1()()(--+-=k k k k k k k k Λh P h h P h P τ，所以1)]()()1()(1)[()1()()()()(-Λ-+-=k k k k k k k h k k k h h P h h P h P τττ（4）由于1)]()()()(1)[()()()1(--=-k k k k k k k k Λh P h h P h P τ，所以1)]()()()(1)[()()()()1()( --=-k k k k k k k k k k Λh P h h P h h P h τττ4－18、考虑如下模型dd c c bb a a n n n n n n n n z d z d z D zc z c z C zb z b z B z a z a z A k v z C z D k u z B k z z A ----------------+++=+++=++=+++=+= 11111111111111111)(,1)()(,1)()()()()()()()(其中，u (k )和z (k )是模型的输入输出变量，v (k )是零均值白噪声。

定义参数向量[]θτ=a a b b c c d d n n n nabcd1111,,,,,,,,,,,请利用增广最小二乘思想，写出模型参数θ的递推辨识算法。

解：令⎪⎩⎪⎨⎧==--)()()()()()(11k u z C k u k z z C k z f f 及⎪⎩⎪⎨⎧=--------=ττθ],,,,,,,,[)](,),1(),(,),1(),(,),1([)(111d b a n n n f d b f f a f f f d d b b a a n k v k v n k u k u n k z k z k h则模型化成最小二乘格式：)()()(k v k h k z f f f +=θτ令)()(1)(1k v z C k e -=，及⎪⎩⎪⎨⎧=----=ττθ],,[)](,),1([)(1c n e ce c c n k e k e k h 则噪声模型也化成最小二乘格式：)()()(k v k h k e e e +=θτ数据向量h e (k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：τ)](,),1([)(c e n k e k e k h ----=ΛΛ其中，⎪⎩⎪⎨⎧-=≤=ΛΛΛ)()()()(;0,0)(k k h k z k e k k e f θττ)](,),1(),(,),1(),(,),1([)(d b a n k e k e n k u k u n k z k z k h --------=ΛΛ则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法：[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=--+-=-)1()]()([)(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k z k k k f f f ff f f f f f f f f f f f P h K P h P h h P K h K τττθθθI []⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+--=--+-=-Λ)1()]()([)(1)()1()()()1()()]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ1k k k k k k k k k k k k k e k k k e e e e ee e e e e e e e e e P h K P h P h h P K h K τττθθθI θ可表示成：[]ττττθθθ],[,,,,,,,,,,,1111e f nn n n cdbac cd d b b a a ==4－19、考虑如下模型nn n n n n z c z c z C z b z b z B z a z a z A k v z C k u z B k z z A ------------+++=++=+++=+= 1111111111111)()(,1)()()(1)()()()(其中，u (k )和z (k )分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v (k )是零均值白噪声，它是不可测的。

试从Markov 估计概念出发，证明该模型的参数向量θτ=[,,,,]a a b b n n 11 的估计值 θ可以写成如下加权最小二乘算法的形式 ()θττ=-H H H z L L L L L L ΛΛ1，式中，H L 为数据矩阵，z L 为输出向量，加权矩阵取ΛL v=12στC C ，其中矩阵C 为C =--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥11110112111110c c c c c c c c c n n n n解：令⎪⎩⎪⎨⎧==--)()()()()()(11k u z C k u k z z C k z f f及⎪⎩⎪⎨⎧=------=ττθ],,,,,[)](,),1(),(,),1([)(11n n f f f f f b b a a n k u k u n k z k z k h 则模型化成最小二乘格式：)()()(k v k h k z f f +=θτ 准则函数取2])()()[()(θθτ∑=-Λ=L1k f f k k z k J h ，其中)(k Λ为加权因子，对所有的k ，)(k Λ都必须大于零。