s →0
t
( n > m)
K 0 = lim h(t ) = lim G ( s ) = b0
令： h1 (t ) = ∫ [ K 0 − h(τ )]dτ
0
则： L[h1 (t )] =
1 [ K 0 − G ( s )] = ˆ G1 ( s ) s2 由此， K1 = ˆ lim h1 (t ) = lim sL[h1 (t )] = lim sG1 ( s ) = K 0 a1 − b1
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系统辨识与自适应控制讲稿
孙应飞
● 归一化： 输入： u ∗ (t ) = u (t ) / U 0 U 0 为输入信号幅度 输出： h∗ (t ) = h(t ) / h(∞) ● 传递函数为： bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + 1 G ( s) = K ⋅ ( n ≥ m) a n s n + a n −1 s n −1 + L + a1 s + 1 ● 算法： 适用无噪声或噪声比较小的情形。 K = h (∞ ) / U 0 G ( s) = ˆ K⋅ 1 1 ⇒ sL[h ∗ (t )] = P( s) P( s)
A2 = ˆ∫ =
∞ 0
1 ，同理有： s (1 + c1 s )
t s →0 0
∫ [h
0 ∗ 1
t
∗ 1
(τ ) − h ∗ (τ )]dτ dt = lim L{∫ [h1∗ (τ ) − h ∗ (τ )]dτ }
∗
L[h (t )] − L[h (t )] = c2 s
……
令： L[hi∗−1 (t )] = ˆ
∞ a n s n + a n −1 s n −1 + L + a1 s + 1 P( s) = = 1 + ci s i ˆ ∑ m m −1 bm s + bm −1 s + L + b1 s + 1 i =1
1 1 L[1 − h ∗ (t )] = − = s sP( s ) 由： L{∫ f (τ )dτ } =
1 + α 1 x T0 + α 2 x 2T0 + L + α n x nT0 = 0
g (t ,θ 0 ) = ∑ θ 0i Fi (t ) = F (t )θ 0
i =0
N
τ
θ 0 = [θ 01 , θ 02 , L, θ 0 N ]τ τ F (t ) = [ F1 , F2 , L, FN ]
（3） 模型的脉冲响应：
g (t , θ ) = ∑ θ i Fi (t ) = F (t )θ
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《系统辨识与自适应控制》第 4 讲要点
第 4 章 经典的辨识方法 4.1 引言 ● 线性过程动态特性的描述： ① 传递函数 G ( s ) ② 脉冲响应 g (t ) ③ 频率响应 G ( jω ) ④ 阶跃响应 h(t ) ● 辨识方法的分类 ▲ 经典的辨识方法（非参数辨识） (Classical Identification) ① 阶跃响应辨识方法 (Step Response Identification) ② 脉冲响应辨识方法 (Impulse Response Identification) ③ 频率响应辨识方法 (Frequency Response Identification) ④ 相关分析辨识方法 (Correlation Analysis Identification) ⑤ 谱分析辨识方法 (Spectral Analysis Identification) 噪声要求：对于①、②、③辨识方法，要求无噪声或噪声很小； 对于④和⑤，对噪声的要求较少。 ▲ 现代的辨识方法（参数辨识） (Modern Identification) ① 最小二乘类辨识方法 (Least Square Identification) ② 梯度校正辨识方法 (Gradient Correction Identification) ③ 概率逼近辨识方法 (Probability Approximation Identification) ● 辨识处理方式： 离线、在线 4.2 阶跃响应法 4.2.1 阶跃响应求过程的传递函数 ● 实验获取过程的阶跃响应
L[1 − h∗ (t )] =
∫
[1 − h∗ (t )]e − st dt = ∑ M i s i
i =0
∞
其中： M i = ∫ [1 − h ∗ (t )]
0
( −t ) dt ， i!
i
由 Ai = ci ，及
L[1 − h∗ (t )] = 1 1 P( s) − 1 ∞ − = = ∑ M i si s sP ( s ) sP ( s ) i =0
● 传递函数阶次的确定：
An −1 An An + m − 2
L An − m +1 L An − m + 2 L An L
−1
An +1 A n+2 M An + m
0 1
An − 2
b L 0 0 1 A1 b2 A L 0 0 M + 2 M L b L A1 1 m An 0
0 ∞ 0 t
∑c s
i =1 i ∞ i =1
∞
i −1
1 + ∑ ci s i
L[ f (t )] , lim f (t ) = lim sL[ f (t )] t →∞ s →0 s
s →0
有： A1 = ∫ {1 − h ∗ (t )}dt = lim L[1 − h ∗ (t )] = c1 令： L[h1∗ (t )] =
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（1） 一阶过程 （2） 二阶过程 （3） 差分方程法 设过程的传递函数为：
G ( s) =
bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + b0 a n s n + a n −1 s n −1 + L + a1 + 1
最后得到确定传递函数参数的方程如下：
K 0 = b0 K = K a −b 1 0 1 1 r = 0,1,2,L, n + m K K a K = − 2 1 1 0 a 2 + b1 M r r −1 K r = (−1) br + K r −1 a1 − K r − 2 a 2 + L + (−1) K 0 a r
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选择传递函数阶次的原则：判别各阶面积是否大于零。 ● Laplace 极限定理求过程的传递函数（适用过程阶次比较低的情形） 设： G ( s ) =
t →∞
bm s m + bm −1 s m −1 + L + b1 s + b0 a n s n + a n −1 s n −1 + L + a1 + 1
● 当阶次比较低，或 m = 0 时适用 4.3 脉冲响应法 4.3.1 过程脉冲响应的辨识(确定性情形) ● 由阶跃响应的差分获得：
g (k ) =
1 [h(k ) − h(k − 1)] T0
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● 由“学习法”获得（无噪声情形，具有噪声时应用相关分析法）： （1） 给定正交函数系： F (t ) = {Fi (t )} （2） 过程的脉冲响应：
1 ，有 s (1 + c1 s + L + ci −1 s i −1 )
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Ai = ˆ∫
∞ 0
∫
t 0
L ∫ [hi∗−1 (τ ) − h ∗ (τ )]dτ i −1 dt = ci
0 ∞ 0 ∞
τ
又由 Laplace 变换，有
ˆ (k ), g ˆ (k + 1),L , g ˆ ( k + n) 为： g
第二步：确定 AR 模型的参数 α 1 , α 2 ,L, α n ，由下列方程确定
ˆ (k ) + α 1 g ˆ (k + 1) + L + α n g ˆ ( k + n) = 0 g
第三步：确定 AR 模型的解：如果特征方程
( n ≥ m)
特征方程： a n s n + a n −1 s n −1 + L + a1 + 1 = 0 (a) 只有单根： s1 , s 2 ,L s n 则脉冲响应为：
g (t ) = c1e s1t + c 2 e s2t + L + c n e snt
(b) 有重根： s1 , s 2 ,L , s n − r 为单根， s 0 为 r 重根 则脉冲响应为：
∞ 1 = 1 − ∑ M i s i +1 P( s) i =0
我们有：
P( s) − 1 ∞ = ∑ M i s i +1 ⇒ P( s) i =0
即有：
∞ ∞ 1 + ∑ Ai s i 1 − ∑ M i s i +1 = 1 i =1 i =0