For personal use only in study and research; not for commercial use
求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321
②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++
③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++
求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算
①
∵12)1(22++=+n n n
∴ 1121222+⨯+=
……
将以上等式两边相加得：
∴ n ++++ 3212)1(+=
n n ②
∵3)1(+n = 1332
3+++n n n
∴ 1131312233+⨯+⨯+=
…… 3)1(+n = 13323+++n n n
将以上等式两边相加得：
)321(32222n ++++⨯ = 3)1(+n —⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⨯+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ =
6
)12)(1(++n n n ③
用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(⎪⎭
⎫ ⎝⎛+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。

利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。

④ )321()321()21(1n +++++++++++
∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2
1212+
∴ 12
112112⨯+⨯= ……
n ++++ 321 = n n 2
1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得：
)321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2
12222n ++++ = ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++2)1(6)12)(1(21n n n n n =
6
)2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++⨯+⨯+⨯n n = 3
)2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
以下无正文。