立方和与立方差公式集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）第一阶梯[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2)提示：刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个"框架"，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（）2-（）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在"框架"中填数计算。
参考答案：(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2(3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4说明：平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。
[例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。
利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2(3)(3a+2b)2 (5) (-a+2b)2提示：在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。
参考答案：(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25(2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2(3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2说明：1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的错误。
[例3]计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：（1）（x+2）(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ;（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2);（5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4)提示：先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。
参考答案：（1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8（2）(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3（5）（3x2-2y2）(9x4+6x2y2+4y4)=(3x2-2y2)[(3x2)2+3x2·2y2+(2y2)2]=(3x2)3-(2y2)3=27x6-8y6说明：1、注意对公式的理解和记忆（1）项数特征：两项乘三项→积为二项，（2）符号特征：二项的因式若两项都为"+"，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为"+"，"-"，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的"立方和"还是两数的"立方差"，主要看乘积中第一个乘式是"两数和"，还是"两数差"。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯[例1]利用乘法公式计算：(1)（x+3）(x-3)(x2+9) (2) (a+b)(a-b)(a2-b2)(3) (x-2)(x+2)(x4+4x2+16) (4) (a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)提示：（1）小题可两次使用平方差公式；（2）小题先使用平方差公式，再使用完全平方公式；（3）小题先使用平方差公式，再使用立方差公式（4）小题两次使用立方差公式。
参考答案：(1)(x+3)(x-3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=(x2)2-92=x4-81(2)(a+b)(a-b)(a2-b2)=(a2-b2)(a2-b2)=(a2-b2)2=(a2)2-2a2b2+(b2)2=a4-2a2b2+b4(3)(x-2)(x+2)(x4+4x2+16)=(x2-4)(x4+4x2+16)=(x2)3-43=x6-64(4)(a-b)(a2+ab+b2)(a6+a3b3+b6)=(a3-b3)(a6+a3b3+b6)=(a3)3-(b3)3=a9-b9说明：遇到多项式的乘法问题，首先应看看是否符合某个乘法公式，若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算：(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)(3) (x+2y+z)2 (4) (2x-3y-4z)2提示：（1）（2）小题可利用平方差公式进行计算；（3）（4）小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案：(1)（a+b+c）(a-b-c)=[a+(b+c)][a-(b+c)]=a2-(b+c)2=a2-(b2+2bc+c2)=a2-b2-2bc-c2(2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a2-(2b-3c)2=a2-(4b2-12bc+9c2)=a2-4b2-12bc-9c2(3)（x+2y+z）2=[x+(2y+z)]2=x2+2x(2y+z)+(2y+z)2=x2+4xy+2xz+4y2+4yz+z2(4) (2x-3y-4z)2=[2x-(3y+4z)]2=(2x)2-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)2=4x2-4x(3y+4z)+(19y2+24yz+16z2)=4x2-12xy-16xz+9y2+24yz+16z2说明：进行多项式乘法运算时，一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整。
适当地添加括号，将有利于应用乘法公式，添加括号方式的不同，可一题多解，如（4）小题还可添加括号为[（2x-3y）-4z]2，但得出的结果均相同。
[例3]利用乘法公式计算：（1）（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)（2）(a+b)(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)提示：（1）小题前两个因式可利用平方差公式计算，后两个因式也可利用平方差公式计算，也可以将第一个因式与第四个因式结合利用立方和公式，第二个因式与第三个因式结合利用立方差公式（2）小题类似。
参考答案：（1）解法一：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= (x2-1)[(x2+1)2-x2]= (x2-1)(x4+2x2+1-x2)= (x2-1)(x4+x2+1)= (x2-1)[(x2)2+x2-1+12]= (x2)3-13= x6-1解法二：（x+1）(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= [(x+1)(x2-x+1)[(x-1)(x2+x+1)]=（x3+1）(x3-1)= (x3)2-12= x6-1（2）解法一：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)= (a2-b2)[(a2+b2)2-(ab)2]= (a2-b2)(a4+2a2b2+b4-a2b2)= (a2-b2)(a4+a2b2+b4)= (a2)3-(b2)3= a6-b6解法二：（a+b）(a-b)(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)= [（a+b）(a2-ab+b2)][(a-b)(a2+ab+b2)]= (a3+b3)(a3-b3)= (a3)2-(b3)2=a6-b6说明：进行整式乘法运算时，要注意观察题目的特点，统观全局，恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算，以上两道小题的解法中，显然解法二先运用立方和，立方差公式，再运用平方差公式，这样做既简便又不易出错。
第三阶梯[例1]（1）化简化求值：（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)，其中（2）解方程：（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0提示：用乘法公式进行化简参考答案：（1）（x+2）(x2-2x+4)+(x-1)(x2+x+1)= x3+8+x3-1= 2x3+7当时，（2）（2x+1）2-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0解：（4x2+4x+1）-(x2-1)-3x2+3x=04x2+4+1-x2+1-3x2+3x=07x=-2说明：在化简求值和解方程的过程中，如果遇到多项式的乘法，应先观察能否运用乘法公式，如果能运用，很多乘法就可直接应用公式写出结果，这充分简化了计算过程。