《导数及其应用》全章复习与巩固 编稿:李 霞 审稿: 张林娟【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题:例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【要点梳理】 要点一:有关切线问题直线与曲线相切,我们要抓住三点: ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释:通过以上三点可以看出,抓住切点是解决此类题的关键,有切点直接求,无切点则设切点,布列方程组. 要点二:有关函数单调性的问题 设函数()y f x =在区间(a,b)内可导,(1)如果恒有'()0f x >,则函数()f x 在(a,b)内为增函数； (2)如果恒有'()0f x <,则函数()f x 在(a,b)内为减函数； (3)如果恒有'()0f x =,则函数()f x 在(a,b)内为常数函数. 要点诠释:(1)若函数()f x 在区间(a,b)内单调递增,则'()0f x ≥,若函数()f x 在(a,b)内单调递减,则'()0f x ≤.(2)'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立,求参数值的范围的方法: ① 分离参数法:()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数,就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ,使min (,)0f x m ≥.(或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ,使max (,)0f x m ≤) 要点三:函数极值、最值的问题 函数极值的问题 (1)确定函数的定义域； (2)求导数)(x f '； (3)求方程0)(='x f 的根；(4)检查'()f x 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释: ①先求出定义域②一般都要列表:然后看在每个根附近导数符号的变化:若由正变负,则该点为极大值点； 若由负变正,则该点为极小值点.注意:无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论:注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义,在开区间(,)a b 内有导数,则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下:(1)求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； (2)求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；(3)求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ,)(b f ； (4)比较上面所求的值,其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值,最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释:①求函数的最值时,不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值,只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值.要点四:优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题,常常可以归结为函数的最大值问题,从而可用导数来解决.我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具,导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤:(1) 分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ,解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值. 要点诠释:①解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:②得出变量之间的关系()y f x =后,必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.④在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去. 【典型例题】类型一: 利用导数解决有关切线问题例1. 已知函数33y x x =-,过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线,求此切线方程. 【思路点拨】因为点A 不在曲线上,所以应先设出切点并求出切点. 【试题解析】曲线方程为33y x x =-,点(016)A ，不在曲线上.设切点为00()M x y ，,则点M 的坐标满足30003y x x =-. 因200()3(1)f x x '=-,故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--.点(016)A ，在切线上,则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--. 化简得308x =-,解得02x =-.所以,切点为(22)M --，,切线方程为9160x y -+=.【总结升华】此类题的解题思路是,先判断点A 是否在曲线上,若点A 不在曲线上,应先设出切点,然后根据直线与曲线相切的三个关系列方程组,从而求得参数值.举一反三:【变式1】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________. 【参考答案】34-=x y 【变式2】求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程. 【参考答案】设00()P x y ，为切点,则切线的斜率为0201x x y x ='=-|. ∴切线方程为00201()y y x x x -=--,即020011()y x x x x -=--. 又已知切线过点(20)，,把它代入上述方程,得020011(2)x x x -=--. 解得000111x y x ===，,即20x y +-=. 类型二: 利用导数解决有关函数单调性、极值最值的问题 例2. 设函数3221()233f x x ax a x b =-+-+(,)a b R ∈,求)(x f 的单调区间和极值. 【思路点拨】求导后,求导数为零的根,两根大小的判断是确定分类点的依据. 【试题解析】22()43()(3)f x x ax a x a x a '=-+-=---令0)(='x f 得 22430x ax a -+=即()(3)0x a x a --=,解得x a =或a x 3=,(1)当0a =时,2()0f x x '=-≤,)(x f 在(,)-∞+∞上单调递减,没有极值；(2)当0a >时,由()0f x '>得3a x a <<,由()0f x '<得x a <或3x a >,∴当x a <或3x a >时,0)(<'x f ,)(x f 单调递减； 当3a x a <<时,0)(>'x f ,)(x f 单调递增； ∴34()()3f x f a a b ==-+极小,()(3)f x f a b ==极大, ∴)(x f 的递减区间为),(a -∞,),3(+∞a ；递增区间为(,3)a a ；34()3f x a b =-+极小,()f x b =极大.(3)当0a <时,由()0f x '>得3a x a <<,由()0f x '<得3x a <或x a >, ∴当3x a <或x a >时,0)(<'x f ,)(x f 单调递减； 当3a x a <<时,0)(>'x f ,)(x f 单调递增； ∴()(3)f x f a b ==极小,34()()3f x f a a b ==-+极大, ∴)(x f 的递减区间为(,3)a -∞,(,)a +∞；递增区间为(3,)a a ；34()3f x a b =-+极大,()f x b =极小.【总结升华】(1)解决此类题目,关键是解不等式'()0f x ≥或'()0f x ≤,若'()f x 中含有参数,须分类讨论. (2)特别应注意,在求解过程中应先写出函数的定义域. 举一反三:【变式1】求函数f x x ax a ()()=+>0的单调区间. 【参考答案】 f x ax '()=-12令f x '()=0得:ax21=∴==±x a x a 2，(1)当x a >或x a <-时,x a ax 2201>><，, 所以,f x '()>0； (2)当0<<x a 或-<<a x 0时,x a ax 221<>，所以,f x '()<0∴f x ()的单调增区间是()()-∞-+∞，，，a a ,单调减区间是()-a ，0,()0，a .【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题4】 【变式2】 已知函数f(x)=ax 3+x 2+1,x ∈(0,1](1)若f(x)在(0,1)上是增函数,求实数a 的取值范围； (2)求f(x)在(0,1)上的最大值. 【参考答案】(1)f ′(x)=3ax 2+2x, ∵f(x)在(0,1)上是增函数,∴ x ∈(0,1)时,f ′(x)=3ax 2+2x ＞0恒成立, 即23a x>-对x ∈(0,1)恒成立, ∵23x-在(0,1)上单调增, ∴x=1时,22,33x --取最大值∴222(),333a a a >-=-≥-时也符合题意则即为所求.(2)①max 2()()(1) 2.3a f x f x f a >-∴==+当时,在(0,1)上单调增,②222'()320,0,.33≤-=+=≠=-当时,令由得a f x ax x x x a220'()0;1'()0,33x f x x f x a a <<->-<<<当时,当时,∴224()1327x f x a a =-+时,取得极大值24(1)2 1.27f a a=+≤+又 ∴24() 1.27f x a+在(0,1)上的最大值为 例3.已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -,(1)求a 、b 的值；(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.【试题解析】(1)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,解得112a b =⎧⎨=-⎩.(2)由(1)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-,令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时()0f x '>,故()f x 在(,2)-∞-上为增函数； 当(2,2)x ∈- 时()0f x '<, 故()f x 在(2,2)- 上为减函数； 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数. 由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-,由题设条件知1628c += 得12c =,此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-, 因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-. 举一反三:【变式1】设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是( )【参考答案】C【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题1】【变式2】函数()2sin 2=-xf x x 的图象大致是( )A B C D 【参考答案】C首先易判断函数为奇函数,排除A,求导后解导数大于零可得周期性区间,从而排除B 、D,故选C. 例4.设函数2()()f x x x a =--(x ∈R ),其中a ∈R .(Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； (Ⅱ)当0a ≠时,求函数()f x 的极大值和极小值.【试题解析】(Ⅰ)当1a =时,232()(1)2f x x x x x x =--=-+-,得(2)2f =-,且2()341f x x x '=-+-,(2)5f '=-.所以,曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--,整理得580x y +-=.(Ⅱ)2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---.令()0f x '=,解得3ax =或x a =. 由于0a ≠,以下分两种情况讨论. (1)若0a >,当x 变化时,()f x '的正负如下表:因此,函数()f x 在3ax =处取得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ,且()0f a =. (2)若0a <,当x 变化时,()f x '的正负如下表:因此,函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ,且()0f a =；函数()f x 在3ax =处取得极大值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【总结升华】1. 导数式含参数时,如何讨论参数范围而确定到数值的正负是解决这类题的难点,一般采用求根法和图像法.2. 列表能比较清楚的看清极值点.3. 写结论时极值点和极大(小)值都要交代清楚.举一反三:【高清课堂:导数的应用综合 370878 例题2】 【变式1】设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = ( ) A.在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点. B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C.在区间1(,1)e 内有零点,在区间(1,)e 内无零点.D.在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e 内有零点.【参考答案】D 由题得xx x x f 33131)`(-=-=,令0)`(>x f 得3>x ；令0)`(<x f 得30<<x ；0)`(=x f 得3=x ,故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数,在区间),3(+∞为增函数,在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ,故选择D.【变式2】已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x ＞0)在x = 1处取得极值-3-c,其中a,b,c 为常数. (1)试确定a,b 的值； (2)讨论函数f(x)的单调区间.【参考答案】(1)由题意知(1)3f c =--,因此3b c c -=--,从而3b =-.又对()f x 求导得3431()4ln 4f x ax x ax bx x'=++3(4ln 4)x a x a b =++. 由题意(1)0f '=,因此40a b +=,解得12,3a b ==-.(2)由(I)知3()48ln f x x x '=(0x >),令()0f x '=,解得1x =.当01x <<时,()0f x '<,此时()f x 为减函数； 当1x >时,()0f x '>,此时()f x 为增函数.因此()f x 的单调递减区间为(01)，,而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞. 类型三: 利用导数解决优化问题例 5. 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为:21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L 达到最大？最大利润是多少？(利润=收入─成本) 【试题解析】:每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2x x x x f +--=故它就是最大值点,且最大值为:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.321212400050000(0)53()240000200,200().5x x x f x x x x =-+-≥'=-+===-由解得舍去()[0,)200,()0f x x f x '+∞==因在内只有一个点 使31(200)(200)24000200500003150000()5f =-+⨯-=元11 【总结升华】利用导数求实际问题中的最大值或最小值时,如果函数在区间内只有一个极值点,那么依据实际意义,该极值点也就是最值点.举一反三:【变式】某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x ≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积) 【参考答案】设楼房每平方米的平均综合费用为()f x ,则 21601000010800()(56048)56048(10,)2000f x x x x x N x x ⨯=++=++≥∈. 210800'()48f x x =-,令'()0f x =,得x=15. 当x ＞＞15时,'()0f x >,当10≤x ＜15时,'()0f x <.因此,当x=15时,()f x 取得最小值(15)2000f =.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.。