导数的背景（5月4日）教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是221gt s =（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ∆很小时，从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3＋t ∆）秒这段时间内位移的增量：从而，t tsv ∆+=∆∆=--9.44.29. 从上式可以看出，t ∆越小，t s ∆∆越接近29.4米/秒；当t ∆无限趋近于0时，ts∆∆无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限是29.4.当t ∆趋向于0时，平均速度ts∆∆的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ∆）这段时间内的平均速度为t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(. 如果t ∆无限趋近于0时，t s∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.析：设点Q 的横坐标为1＋x ∆，则点Q 的纵坐标为（1＋x ∆）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1(x x x y ∆+∆=-∆+=∆， 所以，割线PQ 的斜率x xx x x y k PQ∆+=∆∆+∆=∆∆=2)(22.由此可知，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x ∆变得越来越小，PQ k 越来越接近2；当点Q 无限接近于点P 时，即x ∆无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于2. 这表明，割线PQ 无限趋近于过点P 且斜率为2的直线. 我们把这条直线叫做曲线在点P 处的切线. 由点斜式，这条切线的方程为：12-=x y .一般地，已知函数)(x f y =的图象是曲线C ，P （00,y x ），Q （y y x x ∆+∆+00,）是曲线C 上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线PQ 绕着点P 转动. 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即x ∆趋向于0时，如果割线PQ 无限趋近于一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线. 此时，割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=无限趋近于切线PT 的斜率k ，也就是说，当x ∆趋向于0时，割线PQ 的斜率xyk PQ ∆∆=的极限为k. 3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(q q q C q C C ∆+∆=+⨯-+∆+=-∆+=∆.产量变化q ∆对成本的影响可用：q q C ∆+=∆∆3300来刻划，q ∆越小，qC∆∆越接近300；当q ∆无限趋近于0时，q C ∆∆无限趋近于300，我们就说当q ∆趋向于0时，q C∆∆的极限是300. 我们把qC∆∆的极限300叫做当q ＝50时103)(2+=q q C 的边际成本. 一般地，设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C ＝C （q ），当产量为0q 时，产量变化q ∆对成本的影响可用增量比qq C q q C q C ∆-∆+=∆∆)()(00刻划. 如果q ∆无限趋近于0时，qC∆∆无限趋近于常数A ，经济学上称A 为边际成本. 它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A （这是实际付出成本的一个近似值）. 二、小结瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本q C ∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度.2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度.5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.导数的概念（5月4日）教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。

教学重点：导数的概念以及求导数 教学难点：导数的概念 教学过程： 一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。

虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。

由此我们引出下面导数的概念。

二、新授课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数)(x f Y =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即注：1.函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在。

2.在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。

3.xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率。

4.导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。

因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为))(()(00/0x x x f x f y -=-。

5.导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关。

6.在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成0000/)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x ox --=∆-∆+=→→∆。

7.若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

8.若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。

反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。

一般地，a xb a x =∆+→∆)(lim 0，其中b a ,为常数。

特别地，a a x =→∆0lim。

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即/x x y =＝)(0/x f 。

所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作)(0/x f 。

注：1.如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导。

2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值。

3.求导函数时，只需将求导数式中的0x 换成x 就可，即)(/x f ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim4.由导数的定义可知，求函数)(x f y =的导数的一般方法是： （1）.求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆。

（2）.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(。

（3）.取极限，得导数/y ＝xy x ∆∆→∆0lim 。

例1.求122-=x y 在x ＝－3处的导数。

例2.已知函数x x y +=2（1）求/y 。

（2）求函数x x y +=2在x ＝2处的导数。

小结：理解导数的概念并会运用概念求导数。

练习与作业： 1.求下列函数的导数：（1）43-=x y ； （2）x y 21-= (3)x x y 1232-= (3)35x y -= 2.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。

3.求下列函数在指定点处的导数：（1）2,02==x x y ； （2）0,3102==x x y ； （3）1,)2(02=-=x x y （4）1,02-=-=x x x y . 4.求下列函数的导数： （1）;14+=x y （2）210x y -=；（3）;323x x y -= （4）722+=x y 。

5.求函数x x y 22-=在－2,0，2处的导数。

导数的概念习题课（5月6日）教学目标 理解导数的有关概念，掌握导数的运算法则 教学重点 导数的概念及求导法则 教学难点 导数的概念 一、课前预习1.)(x f 在点0x 处的导数是函数值的改变量＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿与相应自变量的改变量＿＿的商当＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.若)(x f 在开区间（a ，b ）内每一点都有导数)(/x f ，称)(/x f 为函数)(x f 的导函数；求一个函数的导数，就是求＿＿＿＿＿；求一个函数在给定点的导数，就是求＿＿＿＿＿.函数)(x f 在点0x 处的导数就是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.常数函数和幂函数的求导公式： )_____()(___)(*//N n x c n ∈== 4.导数运算法则：若＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则： 二、举例例1.设函数1)(2-=x x f ，求：（1）当自变量x 由1变到1.1时，自变量的增量x ∆； （2）当自变量x 由1变到1.1时，函数的增量y ∆；（3）当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率； （4）函数在x ＝1处的变化率.例2.生产某种产品q 个单位时成本函数为205.0200)(q q C +=，求 （1）生产90个单位该产品时的平均成本；（2）生产90个到100个单位该产品时，成本的平均变化率； （3）生产90个与100个单位该产品时的边际成本各是多少. 例3.已知函数2)(x x f =，由定义求)(/x f ，并求)4(/f . 例4.已知函数2)()(b ax x f +=(a,b 为常数)，求)(/x f . 例5.曲线223x y =上哪一点的切线与直线13-=x y 平行？ 三、巩固练习1.若函数3)(x x f =，则/)]2([-f ＝＿＿＿＿＿＿ 2.如果函数)(x f y =在点0x 处的导数分别为：（1）0)(0/=x f （2）1)(0/=x f （3）1)(0/-=x f （4）2)(0/=x f ， 试求函数的图象在对应点处的切线的倾斜角. 3.已知函数22)(x x x f -=，求)0(/f ，)41(/f ，.4.求下列函数的导数 （1）23212++=x x y （2）15314123-+-=x x x y （3）)4(23-=x x y （4）)23()12(2+-=x x y 四、作业 1.若)(limx f x →存在，则/0)](lim [x f x →＝＿＿＿＿＿2.若2)(x x f =，则1)1()(lim 1--→x f x f x ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.求下列函数的导数：（1）14020224+--=x x x y （2）432615423x x x x y --++= （3）)3)(12(23x x x y ++= （4）32)1()2(-+=x x y4.某工厂每日产品的总成本C 是日产量x 的函数，即2571000)(x x x C ++=，试求： （1）当日产量为100时的平均成本；（2）当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本； （3）当日产量为100时的边际成本.5.设电量与时间的函数关系为1322++=t t Q ，求t ＝3s 时的电流强度.6.设质点的运动方程是1232++=t t s ，计算从t ＝2到t ＝2＋t ∆之间的平均速度，并计算当t ∆＝0.1时的平均速度，再计算t ＝2时的瞬时速度. 7.若曲线1232+=x y 的切线垂直于直线0362=++y x ，试求这条切线的方程. 8.在抛物线22x x y -+=上，哪一点的切线处于下述位置？ （1）与x 轴平行（2）平行于第一象限角的平分线. （3）与x 轴相交成45°角9.已知曲线22x x y -=上有两点A （2,0），B （1,1），求：（1）割线AB 的斜率AB k ； （2）过点A 的切线的斜率AT k ； （3）点A 处的切线的方程.10.在抛物线2x y =上依次取M （1,1），N （3,9）两点，作过这两点的割线，问：抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线？并求这条切线的方程.11.已知一气球的半径以10cm/s 的速度增长，求半径为10cm 时，该气球的体积与表面积的增长速度.12.一长方形两边长分别用x 与y 表示，如果x 以0.01m/s 的速度减小，y 边以0.02m/s 的速度增加，求在x ＝20m ，y ＝15m 时，长方形面积的变化率.13.（选做）证明：过曲线2a xy =上的任何一点（00,y x ）（00>x ）的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.（提示：2/1)1(xx -=） 导数的应用习题课（5月8日）教学目标 掌握导数的几何意义，会求多项式函数的单调区间、极值、最值 教学重点 多项式函数的单调区间、极值、最值的求法 教学难点 多项式函数极值点的求法、多项式函数最值的应用 一、课前预习1.设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内的＿＿＿＿＿；如果在这个区间内＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内的＿＿＿＿＿.2.设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的值都大（小），则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个＿＿＿＿＿＿.3.如果)(x f y =在某个区间内有导数，则可以这样求它的极值：（1）求导数＿＿＿＿＿； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（可能极值点）；（3）如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值；如果在根的左侧附近为＿，右侧附近为＿，则函数)(x f y =在这个根处取得极＿值.4.设)(x f y =是定义在[a ，b]上的函数，)(x f y =在(a ，b)内有导数，可以这样求最值：（1）求出函数在(a ，b)内的可能极值点（即方程0)(/=x f 在(a ，b)内的根n x x x ,,,21Λ）；（2）比较函数值)(a f ，)(b f 与)(,),(),(21n x f x f x f Λ，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 二、举例例1.确定函数31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 例2.设一质点的运动速度是315743)(234++-=t t t t v ，问：从t ＝0到t ＝10这段时间内，运动速度的改变情况怎样？例3.求函数4931)(3+-=x x x f 的极值. 例4.设函数x bx ax x f ++=232131)(在1x ＝1与2x ＝2处取得极值，试确定a 和b 的值，并问此时函数在1x 与2x 处是取极大值还是极小值？例5.求函数593)(3+-=x x x f 在[－2,2]上的最大值和最小值.例6.矩形横梁的强度与它断面的高的平方与宽的积成正比例，要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？例7.求内接于抛物线21x y -=与x 轴所围图形内的最大矩形的面积.例8.某种产品的总成本C （单位：万元）是产量x （单位：万件）的函数：3202.004.06100)(x x x x C +-+=，试问：当生产水平为x ＝10万件时，从降低单位成本角度看，继续提高产量是否得当？ 三、巩固练习 1.若函数)(x f 在区间[a ，b]内恒有0)(/<x f ，则此函数在[a ，b]上的最小值是＿＿＿＿2.曲线1213141234+--+=x x x x y的极值点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3.设函数a ax ax ax x f ---=23)()(在x ＝1处取得极大值－2，则a ＝＿＿＿＿. 4.求下列函数的单调区间：（1）1123223+-+=x x x y （2）)2()1(2++=x x y 5.求下列函数的极值：（1）642+-=x x y ， （2）59323+--=x x x y ，[－4,4] 6.求下列函数的最值：（1）642+-=x x y ，[－3,10] （2）233x x y -=，[－1,4]7.设某企业每季度生产某个产品q 个单位时，总成本函数为cq bq aq q C +-=23)(，（其中a ＞0，b ＞0，c ＞0），求：（1）使平均成本最小的产量（2）最小平均成本及相应的边际成本.8.一个企业生产某种产品，每批生产q 单位时的总成本为q q C +=3)(（单位：百元），可得的总收入为26)(qq q R -=（单位：百元），问：每批生产该产品多少单位时，能使利润最大？最大利润是多少？9.在曲线)0,0(12≥≥-=y x x y 上找一点（00,y x ），过此点作一切线，与x 轴、y 轴构成一个三角形，问：0x 为何值时，此三角形面积最小？10.已知生产某种彩色电视机的总成本函数为73108102.2)(⨯+⨯=q q C ，通过市场调查，可以预计这种彩电的年需求量为p q 50101.35-⨯=，其中p （单位：元）是彩电售价，q （单位：台）是需求量. 试求使利润最大的销售量和销售价格.多项式函数的导数（5月6日）教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(//f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数：（1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n∈= 二、新课讲授1、两个常用函数的导数：2、导数的运算法则：如果函数)()(x g x f 、有导数，那么也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数.例1：求下列函数的导数：（1）37x y = （2）43x y -= （3）3534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数) 例2：已知曲线331x y =上一点)382(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程.三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数：（1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=22 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求：（1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业1、求下列函数的导数：（1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+=（7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+=2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。