教学合班 1：专业班合计人授课合班 2：专业班合计人日期对象合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划内容第一节导数的概念2学时（课题）通过学习，学生能够：1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数；2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线；3.理解可导与连续的关系。

具体目标如下：教学目的知识目标：技能目标：素养目标：教学重点难点教学资源1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能3.把握可导与连续的关系。

2．会求曲线的切线。

力；2．培养学生严谨、求实的作风。

重点：导数的定义。

难点：理解导数的几何意义。

教材、例子（幻灯片）、课件。

教学后记对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：教学活动流程教学步骤与内容教学目标教学方法时间对前面的知识进行复习A. 复习内容与巩固，并简述1．极限的定义为新知识和6mins2.极限的计算方法新技能的学习奠定必要的基础。

板书 ( 或 PPT展B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介明确本次课的辅以2mins （略。

详见教案首页）内容重点及目PPT展示标C.讲授新知导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过程中自然抽象出导数的概念。

导数与微分在理论上和实践中都有非常广泛的应用。

一、瞬时速度、曲线的切线斜率1.变速直线运动的瞬时速度设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度．分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins那么质点在时刻 t0与时刻 t0t间隔内的平均速度也就是辅以 PPT展示引入导数概念质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 )t在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 )t当时间间隔t 很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻 t 0 的瞬时速度．且 t 越小，接近的程度就越好．因此，当 t0 时，如果平均速度s的极限存在，那么，就把t这 个 极 限 称 为 物 体 在 t 0 时 刻 的 瞬 时 速 度 ， 即 ：v 0 lim v lim s(t 0t ) s(t 0 )．t 0t 0t2.曲线切线的斜率 定义设点 P 0 是曲线 L 上的一个定点， 点 P 是曲线 L上的动点，当点 P 沿曲线 L 趋向于点 P 0 时，如果割线 PP 0 的极限位置 P 0T 存在，则称直线 P 0T 为曲线 L 在点 P 0 处的切 线设曲线方程为 y =f(x) 在点 P 0(x 0， y 0)处的附近取一点P( x 0x, y 0 y)那么割线 P 0 P 的斜率为tanyf ( x 0x)f ( x 0 )如果当点 P 沿曲线趋xx向于点 P0 时，割线 P P 的极限位置存在，即点P 0处的切，割线斜率 tan线存在，此刻x0,趋向切线P 0 T 的斜率 tan a ，即， tanlim f ( x 0x)f ( x 0 ) .x 0x二、导数的定义定义 : 设函数 yf ( x) 在点 x 0 的一个邻域内有定义。

在 x 0 处给 x 以增量 x （ x 仍在上述邻域内 ) ，函数 y相应地有增量yf ( x 0x) f (x 0 ) ，如果 limy 存xx 0总 结 概 括 导 数 讲解 在，则称此极限值为函数y f ( x) 在点 x 0 处的导数 .记作：定义5mins或 dyf ' (x) 或 y' x x ，即dxx 0f '( x) lim f ( x 0x)f ( x 0 )x 0x此时也称函数f ( x) 在点 x 0处可导 .如果上述极限不存在，则称 f ( x) 在 x处不可导 .例求函数 f (x) = x 2 在 x0 = 1 处的导数， 即 f /(1).1、解: 第一步求y ：yf (1x) f (1)(1x)2122 x( x)2第二步求y ：xy 2 x( x)2 2x ( x0).xx第三步求极限：limy lim (2x)2所以，xf ' (1) 2xx 0三、导数的几何意义函数 y = f ( x)在点 x 0 处的导数的几何意义就是曲线 y = f ( x) 在点 ( x 0 ， f ( x 0)) 处的切线的斜率 , 即：tanf ' (x 0 ) ，图 P46会 用 定 义 求 函 讲解数 在 一 点 处 的导数理 解 导 数 的 几 讲解何意义7mins10mins由此可知曲线y = f (x) 上点 P 0 处的切线方程为：yy 0 f ' ( x 0 )( x x 0 )法线方程为：yy 01 ( x x 0 ) ( f (x 0 )0) ，其中 y = f ( x ).f ( x 0 )例 2 求曲线 y = x 2 在点 (1, 1)处的切线和法线方程 .讲练结合解： 从例 1 知 ( x 2)'2 即点 (1, 1) 处的切线斜率会 求 曲 线 的 切线x 1 为 2 ，所以 ,切线方程 y –1 = 2( x - 1).，即 y = 2 x - 1.法线方程 1 1 x 3y 1( x 1). ，即 y22 2四、导数的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直 了 解 导 数 的 物 简单介绍线运动路程 s = s(t) 的导数，就是速度，即'( t 0 ) ( t 0 ) .理意义sv我们也常说路程函数s(t) 对时间的导数就是速度 .五、导函数一般地，函数f (x) 的导函数f ( x) limf (xx) f ( x) 讲解x 0x理 解 导 函 数 的例 4 求 f (x) = sin x 的导函数 ( x (, ) ).定义7mins3mins5mins解： f ( x)sin( xlimx 02 cos xlimxlimy lim f ( xx) f ( x) x 0 x x0 xx) sin xxxsinx2 2x讲解导 函 数 的 计 算10minsx sin xlim cos x2cosx，即 ：x2x(sin x)' cos x.2类似可得： (cos x)' - sin x.定义如果 lim f ( x 0x)f ( x 0 )存在 ，则称此极x 0x限值为 f (x) 在点 x 0 处的左导数 ，记作 f ’(x 0)；同样，如 果 lim f ( x 0x)f ( x 0 )存在， 则称此极限值为f (x)x 0x在点 x0 处的右导数 ，记作 f ’ (x ) .+显然， f (x) 在 x处可导的充要条件是f ’(x ) 及 f- 0‘ (x ) 存在且相等 .+0 定义 如果函数 f (x) 在区间 I 上每一点可导， 则称 f(x) 在区间 I 上可导 . 如果 I 是闭区间 [a, b]，则端点处可导是指 f ’(a)、 f ’(b) 存在 .+ -方法讲解理 解 左 导 数 和8mins右导数的概念六、可导与连续的关系定理如果函数 y = f (x) 在点 x 0处可导 , 则 f (x)讲解8mins在点 x 0处连续 ，其逆不真 .。

理 解 可 导 与 连续的关系D.课堂小结建 立 系 统 的一、导数的定义 知识结构，明确 本 节 的 重 7mins二、导数的几何意义 点，对重点内三、可导与连续的关系容 进 行 复 习E. 布置作业与提高。

2mins巩 固 所 学 的知识，培养自学能力。