容易看出，可以用变量代换方法将方程 （1）的平衡点的稳定性问题转换为：
x k +1 + ax k = 0
（2）
的平衡点 x * = 0的稳定性问题。
而对于方程（2），因为其解显然可表为
x k = ( a ) k x 0 , k = 1, 2 ,...
所以立即可知当且仅当
（3）
| a |< 1
（4）
x k +1 = f ( x k )
的平衡点的稳定性
（11）
其平衡点 x *由代数方程 x = f ( x )解出。 为分析 x *的稳定性，将方程（ 11）的 右端在 x *点作泰勒展开，只取一 次项 （11）近似为
xk +1 = f / ( x * )( xk x* ) + f ( x * )
差分方程的稳定性
本节主要是介绍差分方程稳定性的知识 差分方程的平衡点及其稳定性的慨念与微分方程 的有关概念是一致的 ，例如一阶线形常系数差 分方程： （1） x k +1 + ax k = b , k = 0 ,1,... 的平衡点由 解得：
x + ax
x
*
= b
b = 1 + a
当k → ∞时 若xk → x *则x *是稳定的，否则是不稳 定的*）
x k = c1λ
k 1
+ c2λ
k 2
（8）
其中常数 c1 , c 2由初始条件 x 0 , x1确定。 由（ 8）立即得到，当且仅当
| λ 1 |< 1 , | λ 2 |< 1
时方程（7）点平衡点才是稳定的
（9）
与一阶线形方程一样，非齐次方程
xk + 2 + a1 xk +1 + a2 xk = b
的平衡点的稳定性和方程（7）相同
（10）
二阶方程的上述结果可以找到n阶线 形方程，即稳定平衡的条件是特征 方程—— n 次代数方程的根 λ i ( i = 1, 2 ,..., n ) 均有 | λ i |< 1 考虑到高阶方程和方程组的相互转化， 这个条件与（5）、（6）给出的结论是 一致的。
最后讨论一阶非线形差分方程
（6）
即特征根均在复平面上的单位圆内。这个结果可 由将A化为对角陈（或若当阵）得到。 对于二阶线形差分方程，我们考察
x k + 2 + a1 x k +1 + a 2 x k = 0
（7）
的平衡点 ( x * = 0)的稳定性。为求（ 7）的通解，写出 它的特征方程 λ 2 + a1λ + a 2 = 0, 记住这个一元二次 代数方程的根为 λ1，λ 2，不难验证，（ 7）的通解可 表为
（12）
（12）是（11）的近似线形方程
x*也是（ ）的平衡点。 12
关于线形方程（12）的稳定平衡点 的讨论已由（1）——（4）给出
而当 | f / ( x * ) |≠ 1时方程（11）与（12） 平衡点的稳定性相同， 于是得到当
（13） x 时，对于非线形方程（11）， * 是稳定的；
| f / ( x * ) |< 1
/ *
当 | f ( x ) |> 1
时，对于方程（11）， x *是不稳定的
时方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点） 才是稳定的
顺便指出， 顺便指出，
对于 n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数 矩陈 3; Ax(k ) = 0
λi , (i = 1,2,..., n )均有
（5）
其平衡点稳定的条件是 A 的特征
| λ
i
|< 1