n
பைடு நூலகம்
Fn
{
Fn 定义为fibonacci数列。
Fn Fn1 Fn2 F 1 F2 1
1.差分方程的解法
常系数线性齐次差分方程的解法
形如： an b1an1 b2an2
的差分方程，称为
bk ank 0
(1)
an
的k阶常系数线性齐次差分方程，其中
bi
为常数，
例： 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成 成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对 小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有 Fn 对 兔子，试建立关于 Fn 的差分方程。
解: 因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留 下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的 F 小兔数等于前月末的兔数，所以
k
bk 0, n k ，方程:
k 1
x b1 x

bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
例:求Fibonacci数的通项:
{
Fn Fn1 Fn2 F1 F2 1
解 : 差分方程的特征方程为：
x x 1 0
2
特征根:
1 5 1 5 x1 与x2 2 2
2 2
联立解得:
1 1 c1 , c2 5 5
故
n n 1 1 5 1 5 Fn 5 2 2
常系数线性非齐次差分方程的解法 定义：形如 an b1an1 b2an2
(
bk ank f n
在实际中许多变量是离散变化的，如人 口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可 操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的 一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来 解决离散型问题。
对一数列，把数列中的 an 和前面的 ai(0≤i ≤n) 关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫做 递推关系。
b1 ,
, bk 为常数，b k
0, f n 0, n k
的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程
an b1an1 b2an2
对应的齐次差分方程为
bk ank f n
an b1an 1 b2 an 2
xm xm 1 ( 1)e rt x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采 用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具 有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更 接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征， 但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只 能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普 查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题 十分自然地提了出来。
2.差分方程的平衡点与稳定性 对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k
(1)
则称xn = x (n)是差分方程(1)的解, 包含k个任意常数的解 称为(1)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为(1)的初始条件, 通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特 解. 若x0, x1, … , xk -1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(1)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点. 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都 有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|＜1 时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
如何预报人口的增长
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 今年人口 x0, 年增长率 r x(t) ~时刻t的人口, 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t t ) x(t ) rt x(t )
dx rx, x(0) x0 dt
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
n n
是互异的，所以，得通解:
1 5 1 5 Fn c1 c 2 2 2
由初始条件
F1 1, F2 1 得
1 5 1 5 c1 2 c2 2 1 1 5 1 5 c1 2 c2 2 1
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
x (t )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
bk an k 0
定理： 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方 程的通解加上非齐次方程的特解，即
其中
a an是非齐次差分方程的特解。
an
an a an
* n
* n 是对应齐次差分方程的通解，
如何求非次差分方程的特解

一般来说，差分方程的求解是困难的，实际中往往不 需要求出差分方程的一般解，只需要研究它的平衡点 及其稳定性即可。