高中数学必修五学案：线性规划的整数解和非线性规划问题（解析版）学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法.2.会求一些简单的非线性规划的最优解.知识点一 非线性约束条件思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(x －a )2＋(y －b )2≤r 2的可行域.答案梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性约束条件.知识点二 非线性目标函数思考 在问题“若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，求 ＝y －1x －1的最大值”中，你能仿照目标函数 ＝ax ＋by 的几何意义来解释 ＝y －1x －1的几何意义吗？ 答案 ＝y －1x －1的几何意义是点(x ，y )与点(1,1)连线的斜率.梳理 下表是一些常见的非线性目标函数.1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点.(√)2.目标函数 ＝x 2＋y 2的几何意义为点(x ，y )到点(0,0)的距离.(×)3.目标函数 ＝ax ＋by (b ≠0)中， 的几何意义是直线ax ＋by － ＝0在y 轴上的截距.(×)类型一 生活实际中的线性规划问题例1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元.已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时.问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为x 件，y 件，获取的利润为 百元， 则 ＝2x ＋y (百元)，⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ≤24，x ＋y ≤5，5y ≤15，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤12，x ＋y ≤5，y ≤3，x ，y ∈N ，作出可行域，如图阴影部分中的整点，由图可得O (0,0)，A (0,3)，B (2,3)，C ⎝⎛⎭⎫72，32，D (4,0).平移直线y ＝－2x ＋ ，又x ，y ∈N ，所以当直线过点(3,2)或(4,0)时， 有最大值.所以工厂每天制造甲种家电3件，乙种家电2件或仅制造甲种家电4件，可获利最大. 反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析.跟踪训练1 预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才是最好的选择？ 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设桌子、椅子分别买x 张，y 把，目标函数 ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2000，y ≥x ，y ≤32x ，x ∈N ，y ∈N .由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2000，y ＝32x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O ()0，0为顶点的三角形区域(含边界)(如图)，由图形可知，目标函数 ＝x ＋y 在可行域内经过点B ⎝⎛⎭⎫25，752时取得最大值， 但注意到x ∈N ，y ∈N ，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择. 类型二 非线性目标函数的最值问题 命题角度1 斜率型目标函数例2 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0.试求 ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值.考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示， 由于 ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，故 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率， 因此y ＋1x ＋1的最值是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，又∵B (0,2)，C (1,0)，∴ max ＝ MB ＝3， min ＝ MC ＝12.∴ 的最大值为3，最小值为12.引申探究1.把目标函数改为 ＝3y ＋12x ＋1，求 的取值范围.解 ＝32·y ＋13x ＋12，其中 ＝y ＋13x ＋12的几何意义为点(x ，y )与点N ⎝⎛⎭⎫－12，－13连线的斜率.由图易知， NC ≤ ≤ NB ，即29≤ ≤143，∴13≤32≤7，∴ 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，7. 2.把目标函数改为 ＝2x ＋y ＋1x ＋1，求 的取值范围.解 ＝2(x ＋1)＋y －1x ＋1＝y －1x ＋1＋2.设 ＝y －1x ＋1，仿例2解得－12≤ ≤1.∴ ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 反思与感悟 对于形如cx ＋dy ＋fax ＋b的目标函数，可变形为定点到可行域上的动点连线斜率问题.跟踪训练2 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则 ＝y －1x的取值范围是( )A.[－1,0]B.(－∞，0]C.[－1，＋∞)D.[－1,1) 考点 题点 答案 D解析 作出可行域阴影部分，如图所示，y －1x 的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时 l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行， ∴ l ＜1.综上， ∈[－1,1).命题角度2 两点间距离型目标函数例3 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，试求 ＝x 2＋y 2的最大值和最小值. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值解 ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形(例2图)知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小. 故 max ＝|OA |2＝13， min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 反思与感悟当两点间的距离、点到直线的距离与可行域相结合求最值时，注意数形结合思想方法的灵活运用.跟踪训练3 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设 ＝yx ，求 的最小值；(2)设 ＝x 2＋y 2，求 的取值范围；(3)设 ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求 的取值范围. 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值解 由约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2). (1)因为 ＝y x ＝y －0x －0，所以 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知 min ＝ OB ＝25.(2) ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29， 即2≤ ≤29.(3) ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到点(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝5－(－3)＝8.所以16≤ ≤64.1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A.5种B.6种C.7种D.8种 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C解析 设购买软件x 片，磁盘y 盒，则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500，x ≥3，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，画出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示.落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点.即有7种选购方式.2.已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10B.8C.16D.10考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如图(阴影部分含边界)所示，易得A (1,1)，|OA |＝2， B (2,2)，|OB |＝22， C (1,3)，|OC |＝10. ∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2 ＝(10)2＝10.3.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则 ＝y －1x －1的最大值是 . 考点 非线性目标函数的最值问题题点 求斜率型目标函数的最值 答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界). ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率.由图可知 ＝y －1x －1的最大值为 AB ＝3. 4.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则 ＝x 2＋y 2的最小值为 .考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 12解析 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分(含边界)所示， 则 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故 min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.1.画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范.2.在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，应结合可行域与目标函数微调.3.对于非线性目标函数，应准确翻译其几何意义，如x 2＋y 2是点(x ，y )到点(0,0)的距离的平方，而非距离.一、选择题1.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A.2000元 B.2200元 C.2400元D.2800元考点 线性规划中的整点问题题点 线性规划中的整点问题 答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用 元， 根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤8，y ∈N .求线性目标函数 ＝400x ＋300y 的最小值， 可行域如图阴影部分(含边界)所示，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时， 有最小值，且min ＝2200(元).2.已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A.[－1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[－1,2] 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最优解 答案 C解析 作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，因为OA →·OM →＝－x ＋y .所以设 ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知过点P (1,1)时， 有最小值， min ＝－1＋1＝0； 过点Q (0,2)时， 有最大值， max ＝0＋2＝2， 所以OA →·OM →的取值范围是[0,2].3.某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元 考点 线性目标函数的最值问题 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，＝0.4x ＋0.6y .可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图象知，目标函数 ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝60，y ＝32x ，得A (24,36)，∴ max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元). 4.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则2y ＋2x ＋1的最大值是( ) A.5B.6C.8D.10考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 D解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，y ＋1x ＋1的几何意义是点M (－1，－1)与可行域内的点P (x ，y )连线的斜率，当点P 移动到点N (0,4)时，斜率最大，最大值为4－(－1)0－(－1)＝5，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋2x ＋1max ＝2×5＝10.故选D.5.设 ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若 的最大值为6，则 的最小值为( )A.－3B.－2C.－1D.0考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，由 ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋ ，由图可知当直线y ＝－x ＋ 经过点A 时，直线y ＝－x ＋ 在y 轴上的截距最大，此时 最大为6，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ，x －y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k ，即点A ( ， )，∴ ＝ ＋ ＝6，得 ＝3.当直线y ＝－x ＋ 经过点B 时， 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ＝3，x ＋2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3，即点B (－6,3)，此时 的最小值为－6＋3＝－3. 6.设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则 ＝y x ＋xy的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤13，103B.⎣⎡⎦⎤13，52C.⎣⎡⎦⎤2，52D.⎣⎡⎦⎤2，103 考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 D解析 令 ＝yx ，则y ＝ x (因为x ≠0，所以 存在)，直线y ＝ x 恒过原点，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，当直线y ＝ x 过点A (1,2)时，斜率有最大值2；当直线y ＝ x 过点B (3,1)时，斜率有最小值13，所以斜率 的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，2，又 ＝y x ＋x y ＝ ＋1k ，当 ∈⎣⎡⎦⎤13，1时， ＝ ＋1k 为减函数；当 ∈[1,2]时， ＝ ＋1k 为增函数，可得 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2，103，故选D. 7.若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A.－3 B.－2 C.－1D.0考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 C解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0).当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点.再加上a ＝0时的四个整点，共9个整点，故选C. 二、填空题8.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ，y ∈N *，则 ＝10x ＋10y 的最大值是 . 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题 答案 90解析 先画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －11y ＝－22，2x ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5.5，y ＝4.5， 但x ∈N ，y ∈N ，结合图知当x ＝5，y ＝4时， max ＝90.9.实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是 .考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点(x ，y )与点(－1,1)连线的斜率， 可求得目标函数的最小值为－1，最大值为13.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13. 10.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≤0，2x －y －2≤0，则x 2＋y 2的最小值是 .考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求距离型目标函数的最值 答案 5解析 令 ＝x 2＋y 2，画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，令d ＝x 2＋y 2，即可行域中的点到原点的距离， 由图得d min ＝1＋4＝5，∴ min ＝d 2＝5. 三、解答题11.某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A ，B 两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A ，B 两种规格的小袋大米的袋数如表所示：已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A ，B 两种规格的成品数分别为15袋和27袋.问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A ，B 两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域) 考点 线性规划中的整点问题 题点 线性规划中的整点问题解 设需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为x ，y ，所用的袋装大米的总袋数为 ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15，x ＋3y ≥27，0≤x ≤5，0≤y ≤10，＝x ＋y (x ，y 为整数)，作出可行域D 如图阴影部分(含边界)所示.从图中可知，可行域D 的所有整数点为(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8个点.因为目标函数为 ＝x ＋y (x ，y 为整数)，所以在一组平行直线x ＋y ＝t (t 为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解.所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3,9或4,8可使所用的袋装大米的袋数最少.12.设非负实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，2x ＋y ≤5，(2,1)是目标函数 ＝ax ＋3y (a >0)取最大值时的最优解，求a 的取值范围.考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题解 作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分含边界)，由 ＝ax ＋3y (a >0)，得y ＝－a 3x ＋z3，因为当直线 ＝ax ＋3y (a >0)过P (2,1)时， 取最大值，所以由图可知－a3≤－2，所以a ≥6，所以a 的取值范围是[6，＋∞).13.已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1) ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(2) ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合解 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9).(1) ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足N 在AC 上， 故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92，∴ 的最小值为92.(2) ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内的点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍， ∵ QA ＝74， QB ＝38，∴ 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. 四、探究与拓展14.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，－1]B.[－1，＋∞)C.[－1,1]D.[－1,1)考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 C解析 由题意作出可行域，如图(阴影部分含边界)所示，由图易知a ≤1.x ＋2y ≥－5恒成立可化为图中的阴影部分恒在直线x ＋2y ＝－5的右上方，即点A 在直线x ＋2y ＝－5上或其右上方.易知A 点坐标为(a ，a －1)，所以a ＋2(a －1)≥－5，所以实数a 的取值范围为[－1,1].15.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则 ＝2|x |＋y 的最大值为( )A.12B.11C.7D.8考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 答案 B解析 满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图(阴影部分)所示的△ABC 及其内部，其中A (6，－1)，B (0,1)，C (－2，－1)， ＝2|x |＋y 可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，z ＝2x ＋y 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，z ＝－2x ＋y .①当 ＝2x ＋y (x ≥0)且目标函数的图象经过点A (6，－1)时， 取得最大值， max ＝11； ②当 ＝－2x ＋y (x <0)且目标函数的图象经过点C (－2，－1)时， 取得最大值， max ＝3. 综上可知， ＝2|x |＋y 的最大值为11，故选B.。