《导数及其应用》测试题一、选择题1．点()1,1到曲线()ln f x x =在点1x =处的切线的距离为 （ ）A ．2B ．1C ．22D ．22．由直线21=x ，2=x ，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积为 （ ）A ．415B ．417C ．2ln 21D ．2ln 23．函数xxy ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2eD ．3104．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程与坐标轴所围成的三角形的外接圆的方程为（ ）A ．()()22112x y -+-= B ．()()22114x y -++=C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y ++-=5．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是（ ）A ．)1,21(B ．)1,1(-eC ．)2,1(-eD ．),2(e6．若函数()sin x f x e x -=，则此函数图象在点（4，(4)f ）处的切线的倾斜角为（ ） A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角7．函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线为000:()'()()(),l y g x f x x x f x ==-+()()()F x f x g x =-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象如图所示，且0a x b <<，那么 （ ）A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点8．已知函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设)0(f a =，)21(f b =，)3(f c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c << B ．a b c << D ．a c b << 9．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()2,3k k --内不．是单调函数，则实数k 的取值范围是 （ ）A ． 35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,+2⎛⎫ ⎪⎝⎭∞C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,2⎛⎫ ⎪⎝⎭-∞10．设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角α的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为（ ）A ． 10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． 0,||2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 10,||2b a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11．已知f （x ）＝x 3＋ax 2＋（a ＋6）x ＋1在区间[)0,+∞上只有一个极值，则它为极值，且a 的取值范围为（ ）A ．大 ()6--∞，B．大()()36,--∞，+∞C ．小 ()6--∞，D．小()()36,--∞，+∞ 12．设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）二、填空题13．曲线32y x x =-在1x =-处的切线方程为 。

14．若函数2()1x af x x +=+在1x =处取得极小值，则a =15．已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足2()2(2)f x x xf =-',则(5)f '= 16．直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,则k 的值 ． 三、综合题17．已知函数()ln 1f x x x =-+． （Ⅰ）讨论函数()x f 的单调性；（Ⅱ）求函数()x f 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．18．设x =1和x =2是函数f （x ）=a ln x +b x 2+x 的两个极值点． （1）求a ,b 的值；（2）判断f （x ）的极大值和极小值点，且若f （x ）在()1,a b n ++上为减函数，在区间()2,2a n b n ++上为增函数，求n 的取值范围。

19．若函数3()4f x ax bx =-+，当x =2时，函数f （x ）有极值43-．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若函数f （x ）=k 有3个解，求实数k 的取值范围．20．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间大体满足关系：1,1,62,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（其中c 为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如0.1P =表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品），已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？21．已知函数()()322330f x x ax a a a =--+> （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）若曲线()x f y =上有两点()()m f m A ,，()()n f n B ,处的切线都与y 轴垂直，且函数()x f y =在区间[]n m ,上存在零点，求实数a 的取值范围．22．设函数3221()(1),()03f x x x m x x R m =-++-∈>其中（1）当1m =时，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率； （2）求函数的单调区间与极值；（3）已知函数()f x 有三个互不相同的零点0，1212,,.x x x x <且若对任意的12[,],()(1)x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围。

参考答案一、选择题 1：C ．解析：1'()f x x=，故曲线()ln f x x =在点1x =处的切线方程为1y x =-，即10x y --=，故点()1,1到切线10x y --=的距离为11122--=． 2：D ．解析：依题意，所求图形的面积为2121d 2ln 2x x=⎰．3．A解析：令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x xy x e x x-⋅-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e=4： A ．解析：()'2121y x =--,故曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为()11y x -=--，即20x y +-=．它与坐标轴分别交于点()()0,2,2,0，易知这两点的中点为()1,1=所求圆的方程为()()22112x y -+-=． 5： C ．解析：因为'212()1f x x x=++在定义域()1,-+∞上恒为正值，故函数x x x f 2)1ln()(-+=是增函数，又(e-1)0,(2)0,f f <>所以函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的区间是)2,1(-e ．6：D ．解析：因为函数图象在点（4，(4)f ）处的切线的斜率()()()'444cos sin |cos4sin 4x x k f e x x e --===-=-，又因为53442ππ<<，故cos4sin 4>，所以()4cos4sin 40k e -=->，所以倾斜角为锐角． 7：B ．解析：'''''0()()()()()F x f x g x f x f x =-=-，故'''000()()()0F x f x f x =-=．由图像可知，当0x x <时，'''0()(),()0f x f x F x <<；当0x x >时，'''0()(),()0f x f x F x >>，故0x x =是()F x 的极小值点．8．B当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，∴0)(>'x f ，∴函数)(x f 在)1,(-∞∈x 上为增函数，∵)2()(x f x f -=，∴)1()32()3(-=-==f f f c ，∵12101<<<-，∴)21()0()1(f f f <<-，∴b a c <<9：C ．．解析：'1()4f x x x=-，令'()0f x >，得12x >；令'()0f x <，得102x <<，故函数2()2ln f x x x =-在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞上单调递增，依题意有12,213,220,k k k ⎧-<⎪⎪⎪->⎨⎪->⎪⎪⎩解得322k <<．10：B ．解析：'()2f x ax b =+，依题意[]'00()2tan 0,1f x ax b α=+=∈，可知曲线()y f x =对称轴为直线2bx a=-，故点P 到曲线()y f x =对称轴距离为02b x a +，因为0a >，所以010,22b x a a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以010,22b x a a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 11： C ．解析：依题意,这个极值一定为极小值，且'2()3260f x x ax a =+++=在区间[)0,+∞上只有一个根，则()()241260'060,a a f a ⎧∆=-+>⎪⎨=+<⎪⎩，或()()()2412602023'060,a a af a ⎧∆=-+>⎪⎪-<⎨⨯⎪⎪=+=⎩，，无解，解得6a <-． 12： C ．解析：/()(32)y x a x a b =---，由/0y =，得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当23a bx +=时，y 取极小值且极小值为负．故选 C ．项．二、填空题 13：20x y ++=．解析：'223y x =-，故曲线32y x x =-在1x =-处的切线方程为()11y x +=-+，即20x y ++=． 14：3．解析：()2'22()1x x af x x +-=+，依题意2'12(1)04af +-==，解得3a =． 15：16．解析：依题意，'()4(2)f x x f =-'，则'(2)8(2)f f =-'，解得'(2)4f =．所以'(5)20(2)16f f =-'=．16：2413-=k解析：解方程组⎩⎨⎧-==2x x y kx y 得直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为120()S x x dx =-=⎰2310111()|236x x -=．由题设得dx kx dx x x Sk k ⎰⎰----=10102)(2120()k x x kx dx -=--⎰3(1)6k -=．又61=S ，所以21)1(3=-k ，从而得2413-=k ．三、解答题17．解析：（Ⅰ）1()1(0)f x x x'=->． 令()'0f x >，得01x <<；令()'0f x <，得1x >，故函数函数()ln 1f x x x =-+在区间(0,1)上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减．（Ⅱ）()()11ln 2,2ln 21,1022f f f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又1ln 2ln 212->-， 故函数()ln 1f x x x =-+在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为0，最小值为ln21-．18．解析：（1）12)(++='bx xax f 0)1(='f ，0)2(='f ，得a =-32,b =-61（2）显然1x =为极小值点，2x =为极大值点．由013132)(=+--='x x x f （x ＞0），得x =1，或x =2，令()0,12f x x '><<得；令()0,1,2f x x x '<<<>得0或， 所以单调减区间为（0,1），（2，+∞）,单调增区间为（1,2）．则由函数f （x ）在11,36n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上为减函数，在区间212,236n n ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭上为增函数，得111,36211222,36n n n ⎧<-+≤⎪⎪⎨⎪≤-+<-+≤⎪⎩解得513612n ≤≤．19．解：（1）对函数)(x f 求导得：()b ax x f -='23，由题意： ()()⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==-=',344282,0122b a f b a f解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,31b a∴函数)(x f 的解析式为()44313+-=x x x f ．（2）由（1）可得：()()()2242+-=-='x x x x f ，令()0='x f ，得2=x 或2-=x ．当x 变化时，()x f '、()x f 的变化情况如下表：因此，当2-=x 时，()x f 有极大值328． 当2=x 时，()x f 有极小值34-．∴函数()44313+-=x x x f 的图象大致如图： 因为方程k x f =)(的解的个数即为y =k 与y =()x f 的交点个数．所以实数k 的取值范围32834<<-k ． 20．解析：（1）当x c >时，23P =，1221033T x x ∴=⋅-⋅=[来源:Z,xx,k ．Com]当1x c ≤≤时，16P x=-，21192(1)2()1666x x T x x x x x -∴=-⋅⋅-⋅⋅=--- 综上，日盈利额T （万元）与日产量x （万件）的函数关系为：292,160,x x x c T xx c ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时，2926x x T x -=-9152[(6)]6x x=--+-15123≤-=当且仅当3x =时取等号．所以()i 当36c ≤<时，max 3T =，此时3x =()ii 当13c ≤<时，由222224542(3)(9)(6)(6)x x x x T x x -+--'==--知函数2926x x T x -=-在[1,3]上递增，2max 926c c T c-∴=-，此时x c =综上，若36c ≤<，则当日产量为3万件时，可获得最大利润若13c ≤<，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．21．解：（1）),2(363)(2a x x ax x x f -=-=' 令()0='x f 得：01=x ，a x 22=x)0,(-∞0 （0，2a ）2a),2(+∞a)(x f ' + 0- 0+)(x f↗ a a +-23↘a a a +--2334↗由上表可知，函数()x f 的单调递增区间为()0,∞-，()∞+,2a ；单调递减区间为()a 2,0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，m=0，n=2a 且在x=0，x=2a 处分别取得极值．a a f +-=23)0(，()a a a a f +--=23342． 有已知得函数()x f y =在区间[]a 2,0上存在零点，∴()()a f f 20⋅≤0即.0)34()3(232≤+--⋅+-a a a a a∴,0)1)(14)(13(2≤+--a a a a ∵a>0，∴,0)14)(13(≤--a a 解得：.3141≤≤a 故实数a 的取值范围是].31,41[ 22解析：（1）当32211,(),()23m f x x x f x x x '==-+=-+时，故(1)1f '=． 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1。