全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．常见辅助线写法：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线，垂足为D⑶延长AB至C，使BC＝AC⑷在AB上截取AC，使AC＝DE⑸作∠ABC的平分线，交AC于D⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点例1如图，AB ＝CD ＝1，∠AOC ＝60°，证明：AC ＋BD ≥1。

OC DAB例2(2007年北京中考）如图，已知△ABC⑴请你在BC 边上分别取两点D 、E （BC 的中点除外），连接AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB ＋AC ＞AD ＋AE 。

例3已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。

∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°。

且AD＝BE＝CF＝2。

求证：S△OAB＋S△OCD＋S△OEF。

例4如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。

仔细阅读以上材料，完成下面的问题。

如图2，设P为□ABCD内一点，∠P AB＝∠PCB，求证：∠PBA＝∠PDA。

图1 图2⑴集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。

⑵平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC平移至△DEF。

1．在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EG⊥FH，求证：EG＝FH。

F D CB HGEA2．如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。

3．如图，已知△ABC 的面积为16，BC ＝8，现将△ABC 沿直线BC 向右平移a 个单位到△DEF 的位置。

⑴当a ＝4时，求△ABC 所扫过的面积；⑵连接AE 、AD ，设AB ＝5，当△ADE 是以DE 为一腰的等腰三角形时，求a 的值。

4．如图，AA ′=BB ′=CC ′=1，∠AOB ′=∠BOC ′=∠COA ′=60°，求证：4AOB BOC COA SSS'''++<。

例1如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AH⊥EF，H为垂足，求证：AH＝AB。

例2△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC的度数。

例3已知在△ABC中，AB＝AC，P为三角形内一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。

有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转⑴边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等⑵角度能拼成的特殊角指的是180°，90°等等例4已知△ABC，∠1＝∠2，AB＝2AC，AD＝BD。

求证：DC⊥AC。

例5△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝AE，∠BAE＝30°，求证：BE＝CE。

例6在△ABC中，E、F为BC边上的点，已知∠CAE＝∠BAF，CE＝BF，求证：AC＝AB。

出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。

强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC旋转或翻折至△DEF。

EDCBA1．如图，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形 纸板的圆心方在O 点处，并将纸板绕O 点旋转，其半径分别交AB 、AD 于点M 、N ，求 证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a 。

2．（2008山东）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝1，E 是 AD 中点，试判断EC 与EB 的位置关系，并写出推理过程。

CBAE'DAB CFD EE3．如图，P是等边△ABC内一点，若AP＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数。

343PCBA4．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，∠DAE=45°。

⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。

D EC B A5．如图，已知等腰直角三角线ABC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E ，求证：BD ＝2CE 。

6．如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果AB ＝8，BC ＝10，求EC 的长。

F(D)DECBA一、倍长中线法例1(北京文汇中学2009-2010期中测试题)，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =4，则AD 的取值范围是___________。

DCBA例2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE 。

A B CD EF中点的妙用例3⑴如图1，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，点D 在AB 边上。

连接EC ，取EC 中点F ，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并加以证明。

FDEACB图1⑵如图2，将△BDE 旋转至如图位置，使E 在AB 延长线上，D 在CB 延长线上，其他条件不变，则⑴中AF ，DF 的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。

FD ACBE图2例4已知四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证EFGH 为平行四边形。

HGF DEACB例5如图，已知四边形ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为BC 、AD 中点，延长MN 与AB 、CD 延长线交于E 、F ，求证∠BEM =∠CFME FACDMB例6已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，设M 为DE 的中点。

⑴求证：MB =MC ；⑵设∠BAD =∠CAE ，固定Rt △ABD ，让Rt △ACE 移至图示位置，此时MB =MC 是否成立？请证明你的结论。

EA CDMBEACDMB出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法 ⑴倍长中线法 ⑵构造中位线⑶如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线例7如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 中点，求证△BMD 为等腰直角三角形。

AMCEDB1．在△ABC 中，AB =12，AC =30，求BC 边上的中线AD 的范围。

ABCD2．在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，求证：AB =AC 。

ABCD3．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，M 是BC 中点，∠B =2∠C ，如图，求证：DM =12ABDABC4．已知△ABC中，AC=7，BC=4，D为AB中点，E为边AC上一点，且12AED C∠=︒+∠9，求CE的长。

BAE DC5．在任意五边形ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L、分别为MN、PQ的中点，求证：KL平行且等于14 AE。

6．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD =AB ， 那么CE 是CD 的几分之几？ABE DC7．四边形ABCD 四边中点分别为E 、F 、G 、H ，当四边形ABCD 满足 时，EFGH为菱形；当四边形ABCD 满足 时，EFGH 为矩形；当四边形ABCD 满足 时，EFGH 为正方形。

例1在△ABC 中，∠B =2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 与D 。

求证：AB +BD =AC 。

DCBA截长补短法例2ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠P AD的平分线交CD于Q，求证：DQ=AP-BP。

PQ D CB A例3已知△ABC ，∠ABC =90°，以AB 、AC 为边向外做正方形ABDE 和ACFG ，延长BA 交EG 于H ，则BC =2AH 。

GHFEDCBA例4AD 是△ABC 的角平分线，BE ⊥AD 交AD 的延长线于E ，EF //AC 交AB 于F 。

求证：AF =FB 。

EABCDF补形法例5如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，已知BC+CD=11，DE-AB=3，求DC+EF的值。

ABC DE F例6如图所示：BC>AB，AD=AC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180°。

ABCD1．如图，在△ABC中，AB+BD=AC，∠BAC的平分线AD交BC与D，求证：∠B=2∠CAB CD已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABGF、ACDE，M是BC中点，连接AM求证：EF＝2AM且AM⊥EF。