全等三角形培优经典题
全等三角形培优习题
1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
A D
E
G 图1
F
A D
C
G
图2
F
A
E
图3
D
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90
AEF
∠=o，且EF交正方
形外角DCG
∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的
中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF
△≌△，所以AE EF
=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A D
F
C G
E
图A D
F
C G
E
图
A D
F
C G
E
B
图
1．下列命题中正确的是（）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
2.下列说法正确的是（）
A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对
5如图13－4，AE=AC ， AD=AB ， ∠EAC=∠DAB ，求证： ED ＝CA ．
6 如图，已知AB=AD ，AC 求证：EDC EBC ∠=∠。

7.已知如图，E.F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF,
求证：AC 与BD 互相平分.
A C
B
E
D
图13－4
F
G
E
D
C
B
A
A
B E O F D
C
8.如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．猜想线段AC 与EF 的关系，并证明你的结论.
9如图ABD ∆和ACE ∆
10.如图∠ABC ＝90°AB ＝BC ，D 为AC 上一点分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE.
A
F
D E
11.如图5，已知AB∥CD，AD∥BC，
E.F是BD上两点，且BF＝DE，
则图中共有对全等三角形.
12.如图7，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,
图中全等三角形共有______对.
1.填空题常见题型
13.两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（）
A. 两角和一边
B. 两边及夹角
C. 三个角
D. 三条边
14.如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（）
A. 一定全等
B. 一定不全等
C. 不一定全等
D. 面积相等
15.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等
2.常见题的解题方法与分析
16. 下列各图中，一定全等的是（） A. 各有一个角是 45的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形
A
B
D
C
E
.
3
4
21
D
C
B
A
O
E D A
C. 各有一个角是︒45，腰长都是3cm 的两个等腰三角形
D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形 17．已知如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交
于点O ，且AO 平分∠BAC ，
（1）图中有多少对全等的三角形？请你一 一列举出来（不要求说明理由）
（2）求证BE=CD （3）要得到BE=CD ，你还有其他的思路吗？
DE ⊥AB 于E ，若AB=6cm 则DEB ∆的周长是（ ） A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9 cm
19
20.已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE 平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

BF；
(!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=1
2
21.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于( )
1∠A C. 180°－∠A A..90°－∠A B. 90°－
2
1∠A
D. 45°－
2
22.(2007年绵阳市）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC 上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）； （2）请证明你认为正确的命题．
23．如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，
AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．
24、在Rt △ABC 中，∠B AC ＝90°，AB=AC ，CE ⊥BD 的延长
线于E ，∠1=∠2求证：BD ＝2CE ． A B
C D E F 图9
E
A
25.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，
则∠B ∶∠C 的值为多少？
26．已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关
系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、
(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系．
F E D C B A A B C D
27.如图，已知ABC
∆为等边三角形，D.E.F分别在边BC.CA.AB上，且DEF
∆也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？
写出变化过程．
28.已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．。