三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

【常见辅助线的作法有以下几种】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。

3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 。

5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

1、已知，如图△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围 .2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 .AEFB D C3、如图，△ ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC 的中点，求证：AD 平分∠ BAE.AB D E C4 、以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BAD CAE 90 ,连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．（ 1）如图①当ABC为直角三角形时，探究：AM与DE的位置关系和数量关系；（ 2）将图①中的等腰Rt ABD 绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．5、如图，ABC 中，AB=2AC，AD平分BAC ，且AD=BD，求证：CD⊥AC.ACBD6、如图， AD∥ BC， EA,EB分别平分∠ DAB,∠ CBA， CD 过点 E，求证 ;AB＝ AD+BC。

ADB400，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ 7、如图，已知在△ ABC内，BAC 60 ， C分别是BAC ， ABC的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BPBP8、如图，在四边形ABCD中， BC＞BA,AD＝ CD，BD 平分ABC ，求证：AC 1800AB ECAQCDC9、如图在△ ABC中， AB＞AC，∠ 1＝∠ 2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞ PB-PCA12PB CD10、11、 AD 为△ ABC的角平分线，直线MN ⊥AD 于为 MN 上一点，△ ABC周长记为P A，△ EBC周长记为 P B.求证 P B＞ P A.12、已知：△ ABC和△ ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中EC的中点 M ，联结 BM 和 DM．BA=BC，DA=DE，联结EC，取（ 1 ）如图是1 ，如果点D、 E 分别在边；AC、 AB 上，那么BM 、 DM的数量关系与位置关系（2）将图 1 中的△ ADE绕点 A 旋转到图 2 的位置时，判断（ 1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．BBEA CMA D C MD E13、如图，已知在△ ABC 中，∠ B=60°，△ ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O ，求证： OE=ODAEOBCD14、如图， △ ABC 中， AD 平分 ∠ BAC ， DG ⊥ BC 且平分 BC ， DE ⊥ AB 于 E ， DF ⊥ AC 于 F.（ 1）说明 BE=CF 的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE 、 BE 的长 .AEGBCFD15、如图①， OP 是∠ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1）如图②，在△ ABC 中，∠ ACB 是直角，∠ B=60°， AD 、 CE 分别是∠ BAC 、∠ BCA 的平分线， AD 、 CE 相交于点 F 。

请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（ 2）如图③，在△ ABC 中，如果∠ ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

BMBEEFDFDOPACC图①NA 图③ 图②16、正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD 上的一点， BE+DF=EF，求∠EAF的度数 .A DFB E C17、 D 为等腰Rt ABC 斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（ 1）当MDN 绕点D转动时，求证DE=DF。

（ 2）若 AB=2，求四边形DECF的面积。

18、如图，ABC 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC 1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，求AMN 的周长。

AMNB CD19、已知四边形ABCD中，AB AD ，BC CD ，AB∠120o，∠ MBN 60o，BC ，ABC∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于E，F ．当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时（如图1），易证 AE CF EF ．当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF ， EF 又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．A A AB E MB E M BC FD C F D F CDN N N E （图 1）（图 2）（图 3）M20、已知 :PA= 2 ,PB=4,以 AB 为一边作正方形ABCD,使 P、D 两点落在直线AB 的两侧 .(1)如图 ,当∠ APB=45°时 ,求 AB 及 PD 的长 ;(2)当∠ APB 变化 ,且其它条件不变时,求 PD 的最大值 ,及相应∠ APB 的大小 .21、在等边ABC 的两边AB、 AC所在直线上分别有两点M 、 N， D为 VABC 外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当M、N 分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q 与等边ABC 的周长L 的关系．图 1（I）如图1，当点M、 N边图 2AB、 AC上，且DM=DN图 3时， BM、 NC、 MN之间的数量关系是；此时Q；L（II）如图 2，点 M 、 N 边 AB、 AC 上，且当DM DN 时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M 、N 分别在边AB、CA 的延长线上时，若 AN= x，则 Q=（用x 、L表示）．22、如图 2-7-1，△ ABC 和△ DCE均是等边三角形， B、C、 E 三点共线， AE 交 CD 于 G，BD 交 AC 于 F。

求证：① AE=BD;② CF=CG.23、如图 2-7-2 ，在正方形ABCD中，M 是 AB 的中点， MN⊥ MD ，BN 平分∠ CBE。

求证： MD=MN 。

24、如图 2-7-3，△ ABC 中，∠ ABC=2∠ C，∠ BAC的平分线交BC 于 D。

求证： AB+BD=AC25、如图 2-7-4，△ ABC 中， AC>AB， AD 平分∠BAC， P 为 AD 上任一点，连结PB、 PC。

求证： PC-PB＜ AC-AB。

26、如图 2-7-5，从等腰Rt△ ABC的直角顶点 C 向中线 BD 作垂线，交BD 于 F，交 AB 于 E，连结DE。

求证：∠ CDF=∠ ADE。

27、在△ ABC中，∠ ACB＝ 90°， AC＝ BC，直线 MN 经过点C，且 AD⊥ MN 于 D， BE⊥MN 于 E.（ 1）当直线MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△ ADC≌△ CEB；② DE＝AD＋BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE＝ AD－BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、 BE 具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明。

28、已知：△ ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A，且 60o 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与 B、 C 重合），斜边和∠ ACM 的平分线 CF交于点 F（ 1）如图（ 1）当点 E 在 BC边中点位置时1) 猜想 AE 与 EF满足的数量关系是。

2)连结点 E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是3)请证明你的上述猜想（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时：此时ＡＥ和ＥＦ有怎样的数量关系，并说明你的理由AANF FB EC M图（ 1）B E CM图（ 2）29、已知 AC 平分∠ MAN ，∠ MAN=120o ，（1）在图（ 1）中，若∠ ABC=∠ADC=90o，求证： AB+AD=AC 。

（2）在图（ 2）中，若∠ MAN=120o ，∠ ABC+∠ ADC=180o，则（ 1）中的结论还成立吗若成立请你给出证明，若不成立请说明理由MMCCDDA B N AB N 图（ 2）图（ 1）30、如图 1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线 a 绕顶点A旋转，若点B、P在直线 a 的异侧， BM ⊥直线a于点 M ， CN ⊥直线a于点 N，连接 PM 、PN.（ 1）延长MP交CN于点E（如图 2），①求证：△BPM ≌△CPE ；②求证： PM PN ；（ 2）若直线a绕点A旋转到图 3 的位置时，点B、P 在直线a的同侧，其它条件不变.此时PM PN 还成立吗若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（ 3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断PM PN 还成立吗不必说明理由 .题图 1题图2题图331、如图 1，已知正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 DEFG 的边 DE 上，连接 AE ，GC ．（ 1）试猜想AE 与 GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论.（ 2）将正方形 DEFG 绕点 D 按顺时针方向旋转，使点 E 落在 BC 边上，如图 2，连接 AE和GC ．.你认为（ 1）中的结论是否还成立若成立，给出证明；若不成立，请说明理由32、已知等边△ ABC 和点 P ，设点 P 到△ ABC 三边 AB 、 AC 、 BC 的距离分别为 h 1、h 2、 h 3，△ ABC的高为 h 。