理论力学
[例]均质细杆长为l，质量为m1，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰链 与质量为m2、半径为R且放在粗糙地面上的均质圆柱中心相连，圆柱作 纯滚动，杆与水平线的夹角为 ，若圆柱中心速度为vA，求系统的动能。
解：
T TA TAB 3 2 TA m2 v A 4
P wAB
C
B
P 为AB杆的瞬心
A
vA
j
vCA v C vA
B
C
w
2 1 J w2 则杆的动能 T 1 mvC 2 2 C 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 ( 1 ml 2 )w 2 1 m ( v A A 2 4 2 12 2 1 l 2w 2 lw v cos j ) 1 m ( v A A 2 3
O yC x
rC
ri
zC xC
i y
mi xi mi yi mi zi xC ，yC ，zC m m m
在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用确定重心 的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质 心比重心具有更加广泛的力学意义。
z1
z2
x
质点系
W Wi mi g( zi1 zi 2 ) mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心 高度差的乘积，而与各质点运动的路径无关。
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2、弹性力的功 (指有限变形下弹性力的功，与弹簧两端点位置无关) 弹簧原长l0 ，作用点的轨迹为图示曲线A1A2。在弹性极限内F k (r l0 )r0 k—弹簧的刚性系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力(N/m)。
1 1 1 1 2 T mi vi2 ( mi )v 2 mv 2 mvC 2 2 2 2
2、定轴转动刚体 T 1 mi vi2 1 ( mi ri 2 )w 2 1 J zw 2 2 2 2 3、平面运动刚体
T 1 J Pw 2 2
（P为速度瞬心）
质心C
w
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1
§10-1
一、质点系的质心
质点系的质心 内力与外力
z C
质点系的质量中心称为质心。是表示 质点系质量分布情况的一个重要概念。 质心C点的位置：rC
rC xC i yC j zC k
mi ri mi ri mi m (m mi )
刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。
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动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运 动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运 动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用 力的物理量—功之间的联系，这是Hale Waihona Puke 种能量传递的规律。§ 12-1
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2
二、质点系的内力与外力 外力：质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。
内力：质点系内各质点之间相互作用的力。
对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零， 内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：
(i) (i) F 0 ； M ( F i O i )0
W
M2
M1
F dr
M2
M1
k (r l0 )r0 dr
r 1 1 r0 dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r r2 r2 k W k (r l0 )dr d (r l0 ) 2 r1 r1 2 k [( r1 l0 ) 2 ( r2 l0 ) 2 ] A1 2 d1 r1 l0 初变形

l
0
x2
l 2
m 1 dx ml 2 l 3
2
O
x
x
l
dx
J z1
l 2
m 1 2 x dx ml l 12
l 2
z1
C x x
l 2
dx
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均质薄圆环对于中心轴的转动惯量
设细圆环的质量为m，半径为R。则
z
R
J z mi ri2 R2 mi mR2
T 1 m v2 2
瞬时量，恒为正，具有与功相同的量纲，单位也是J(焦耳)。
1 2 T mi vi 二、质点系的动能 2 对于任一质点系：（viC 为第i个质点相对质心的速度）
1 2 1 2 T mvC mi viC 2 2
柯尼希定理
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三、刚体的动能 1、平移刚体
有限变形下弹性力的功只与 弹簧的初始变形和末变形有 关，与力作用点的路径无关。
F
A0
A dr
d
r1 l0
r
r0
O
d 2 r2 l0 末变性
k 2 k 2 2 W (d 初 d 末 ) (d1 d 22 ) 2 2
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r2
A2
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3、作用于定轴转动刚体上的力的功，力偶的功
(i) (i) (i) M ( F ) 0 ， M ( F ) 0 ， M ( F x i y i z i )0
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转动惯量的计算 1、积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）
[例]均质细直杆长为l ，质量为m。求杆对z轴的转动惯量Jz 及对z1 轴的转动惯量Jz1 。 z 解： J z
5
2、回转半径 由 z
Jz m
所定义的长度z称为刚体对 z 轴的回转半径。
J z mz2
对于均质刚体，z仅与几何形状有关，与密度无关。对 于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回 转半径是相同的。 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已 标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质
FN
dr FR F' R
3、刚体沿固定面作纯滚动
dWN (FN FS ) drC 0
4、柔性约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
C
FS FN
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§12-2
动强弱的又一种度量。 一、质点的动能
动
能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运
W
M1
( Fx dx Fy dy Fz dz)
直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功的解析表达式。
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三、常见力的功 1、重力的功
z M1 M
Fx 0， Fy 0， Fz mg
代入功的解析表达式得
z1
O
mg
M2 y
z2
W12 (mg)dz mg( z1 z2 )

A
Ft
W12 M z dj
j1
j2
作用面垂直转轴的常力 偶M，则力偶作的功为
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W12 M (j2 j1 )
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4、摩擦力的功
(1) 动滑动摩擦力的功
W
M2
M1
Fds
M2
M1
f FNds
FN=常量时，W= －f FNs，与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，静滑动摩擦力的功。
A
vA
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
j w
B
vC v A vCA
速度合成矢量图如图，由余弦定理有：
2 2 2 vC vA vCA 2v AvCA cos(180 j ) 2 2 1 lw cos j vA (1 l w ) 2 v A 2 2 2 2 2 vA 1 l w lw v A cos j 4
均质圆板对于中心轴的转动惯量
设圆板的质量为 m ，半径为 R 。将圆板分为无数 同心的薄圆环，任一圆环的质量为dm= · 2rdr， =m/R2，于是圆板转动惯量为
y
dr
r
R
x
Jz r d m
2
R
0
1 r 2r d r mR 2 2
2
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法向力FN，静摩擦力FS作用于瞬心C处，而瞬心的位移
dr vC dt 0
dW FS dr FS vC dt 0
圆轮沿固定面作纯滚动时， 摩擦力是静摩擦力，不作功!
w
O
R
P
FS
C
FN
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5、质点系内力的功
dW F drA F drB F drA F drB F d(rA rB ) F drBA
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四、理想约束力的功
约束力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 1、光滑固定面约束
dr
dW FN dr 0
(FN dr )
2、联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dr FR dr FR dr 0 dW FR dr FR
w
vC
C
vC v
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
1 J C mR 2 ， vC Rw 2
1 2 1 T mvC J Cw2 2 2
vC Rw v
1 1 2 T m(v rw ) J Cw 2 2 2