n
n
(Fi FIi ) •ri FNi •ri 0
i 1
i 1
n
动力学普遍方程

(Fi FIi ) • ri 0
i 1
21
§5-1、动力学普遍方程
拉格朗日形式的达朗贝尔原理
n
(Fi FIi ) • ri 0
i 1
受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主动力
和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。
例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R， 圆盘在地面上纯滚动，若板上作用在一个力F。求板的加速度。
M IC
FI FI
a M IC FI
受力分析
FI
ma
M IC
1 mR2
2
虚位移分析 x R
x
F
应用动力学普遍方程 n
(Fi FIi ) • ri 0
i 1
解：运动分析 系统自由度k=1
工程中的动力学问题
3
研制方法的改进
工程中的动力学问题
结构设计中的CAD
4
工程中的动力学问题
研究与实验方法：计算机动力学仿真
5
北京吉普 的概念车
工程中的动力学问题
在2004年北京汽车展
6
工程中的动力学问题
汽车的减振测试与疲劳测试
问题：车身的运动是什么运动？ 平动？ 平面运动？
7
二、车辆的碰撞问题
约束力 FNi. 质点的惯性力为 FIi
应用达朗贝尔原理： Fi FNi FIi 0, (i 1, , n)
其中：FIi miai (Fi FNi FIi ) •ri 0, (i 1, , n)
应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
n
FNi • ri 0
i 1
n
W (Fi FNi FIi ) • ri 0 i 1
动力学普遍方程 的直角坐标形式
Fi Fixi Fiy j Fiz k FIi mxii myi j mzik
ri xii yi j zik
n
n
n
(Fix miaix )xi (Fiy miaiy )yi (Fiz miaiz )zi 0
i 1
i 1
i 1
22
§5-1、动力学普遍方程
GPS
12
工程中的动力学问题 卫星太阳翻版展开的动力学仿真
问题：用什么方法建立系统的动力学方程？
13
哈勃太空望远镜 太阳翻版的修复
工程中的动力学问题
14
上述动力学问题的特点
• 结构特点
– 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 结构复杂
• 运动的特点
– 刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动
• 实验手段的特点
§5-1、动力学普遍方程
FAI A mg
M BI
B
FCI
mg
M CI
C
xA
x
系统的虚位移
B
C
动力学普遍方程：
mg
x
R
rC x R
rC
FAIx M BI FCIrC MCI mgrC 0
[
5 2
a
A
RC
g]mx [aA
3 2
RC
g ]mR
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
xA
B
aA
B
C
FAI A mg
C
M BI
aC
B
FCI
mg
M CI
C
mg
应用动力学普遍方程 n (Fi FIi ) • ri 0 i 1
解：运动分析 自由度K=2
B
aA R
aC aA C R
受力分析 FAI maA
M BI J B B M CI JCC FCI maC ma A mRC24
– 不仅有物理实验还有计算机仿真实验
• 研究方法的特点
– 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）
15
第五章 Lagrange方程
•动力学普遍方程 •第二类Lagrange方程 •第二类Lagrange方程的首次积 分 •第一类Lagrange方程
16
Lagrange方程
1736年1月25日生于意大利西北部的都 灵, 1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都 灵的皇家炮兵学校当数学教授。 他用纯分 析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 为 变分法奠定了理论基础。 他的论著使他成 为当时欧洲公认的第一流数学家。
工程中的动力学问题
车体碰撞的计算机动力学仿真
8
工程中的动力学问题
汽车安全带避免人体与车体的碰撞
9
工程中的动力学问题
汽车碰撞的假人模拟实验 与计算机仿真实验
汽车碰撞的真人模拟实验
10
工程中的动力学问题 三、汽车驾驶模拟器的动力学问题
汽车驾驶模拟器
11
工程中的动力学问题 四、航天飞行器的姿态动力学问题
a R
由动力学普遍方程得：
Fx 3FIx 2M IC 0
Fx 3max max 0
(F 4ma)x 0
x 0, F 4ma 0 23
§5-1、动力学普遍方程
例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，
绳索与圆盘无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C的角加速度。
六缸四冲程汽油发动机
19
问题的引出
A
M
m1g m2 g
O
MA
m1g m2 g
O
BF
m3 g
B
m3 g
问题1：系统在图示位 置平衡，用什么方法求 F与M的关系？
问题2：系统中OA杆匀 角速转动，用什么方法 求图示瞬时，力偶M的 大小？
20
§5-1、动力学普遍方程
设：质点系中第i个质点的质量为 mi;作用在其上的主动力 Fi ;
本学期讲授的主要内容
•第五章 Lagrange方程 •第六章 刚体的定点运动与一般运动 •第七章 机械振动基础
1
一、车辆的减振问题
1893年生产的轿车
工程中的动力学问题
1904年生产的别克轿车
车轴与车体之间无减振器
车轴与车体之间有减振器
研究方法：理论分析与实验
2
现代研制的轿车、吉普车 减振结构：独立悬架
RC
g]
0
aA
C
x 0 0
25
§5-2、拉格朗日方程
图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，物 体间用光滑铰链连接。已知各物体的质量和几何量。
x
A
问题： 1、系统有几个自由度 2、系统的广义坐标是什么
3、如何建立运动微分方程
B
4、系统存在哪些守恒量
C
26
§5-2、拉格朗日方程
问题：两个相同的质点由同一高度沿不同轨道无初速下滑， 谁先抵达红线？
1766他应邀去柏林，居住达20年之久.在此期间，他完成
了《分析力学》(1788出版)一书， 这是牛顿之后的一部重要
的经典力学著作。 书中运用变分原理和分析的方法，建立起
完整和谐的力学体系，使力学分析化了.他在序言中宣称：力
学已经成为分析的一个分支。
17
问题的引出
1769年蒸汽机车的模型 18
问题的引出 用什么方法建立系统的运动与主动力的关系?