《应用随机过程A》课程教学大纲
课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适用专业：统计学专业
学分数：3学分学时数： 48学时
应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分方程、高等代数
一、本课程的地位和作用
应用随机过程是数学与应用数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之一。
随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。
随着科学技术的发展，它已广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域，国内外许多高等工科院校在研究生中设此课程，大量工程技术人员对随机分析的方法也越来越重视。
通过本课程的学习，使学生初步具备应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力。
二、本课程的教学目标
使学生掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学生的概率理论数学模型解决随机问题的能力得到更加进一步的提高，特别在经济应用上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。
三、课程内容和基本要求
∇”记号标记既（用“*”记号标记难点内容，用“∇”记号标记重点内容，用“*
是重点又是难点的内容。
）
第一章预备知识
1．教学基本要求
（1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。
（2）掌握条件概率, 条件期望和独立性的概念和相关性质。
（3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。
2．教学内容
（1）概率空间
（2）▽随机变量和分布函数
（3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数
（4）▽*条件概率、条件期望和独立性
（5）收敛性
第二章随机过程的基本概念和类型
1．教学基本要求
（1）掌握随机过程的定义。
（2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。
（3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。
2．教学内容
（1）基本概念
（2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理
（3）▽随机过程的基本类型
第三章 Poisson过程
1．教学基本要求
（1）了解计数过程的概念。
（2）掌握泊松过程两种定义的等价性。
（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布。
（4）了解泊松过程的推广。
2．教学内容
（1）▽ Poisson过程
（2）▽* 与Poisson过程相联系的若干分布
（3）* Poisson过程推广
第四章更新过程
1．教学基本要求
（1）掌握更新过程的定义和基本性质。
（2）掌握更新函数、更新方程。
（3）了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。
（4）了解更新过程的若干推广。
2．教学内容
（1）▽*更新过程定义及若干分布
（2）▽*更新方程及其应用
（3）*更新定理
（4）Lundberg-Cramer破产论
（5）更新过程的推广
第五章 Markov链（选学）
1．教学基本要求
（1）理解马尔可夫过程的背景与定义，马尔可夫过程的基本性质。
（2）熟悉常见马尔可夫过程。
（3）掌握马尔可夫链的背景、概念，常见马尔可链的定义与基本性质。
（4）齐次马尔可夫链，非齐次马尔可夫链的一步、二步转移概率，多步转移概率求法，转移概率矩阵与C-K方程介绍。
（5）了解马尔可夫链在金融学中的应用。
2．教学内容
（1）基本概念
（2）停时与强Markov性
（3）状态的分类及性质
（4）极限定理及不变分布
（5）Markov链的大数定律与中心极限定理
（6）群体消失模型与人口模型
（7）连续时间Markov链
（8）应用-数据压缩与熵
第六章鞅（选学）
1．教学基本要求
（1）理解随机游动和鞅的背景与定义。
（2）掌握停时理论及其实际应用。
（3）熟悉随机游动与鞅对金融现象的刻画。
2．教学内容
（1）基本概念
（2）鞅的停时定理
（3）一致可积性
（4）鞅收敛定理
（5）连续鞅
第七章 Brown运动（选学）
1．教学基本要求
（1）掌握布朗运动的背景与定义。
（2）掌握首中时与最大值分布。
（3）熟悉布朗运动的各种变形与推广。
（4）会用布朗运动描述金融现象。
2．教学内容
（1）基本概念与性质
（2）Gauss过程
（3）Brown运动的鞅性质
（4）Brown运动的Markov性
（5）Brown运动的最大值变量及反正弦律
（6）Brown运动的几种变化
第八章随机积分与随机微分方程（选学）
1．教学基本要求
Ito积分过程。
（1）掌握ˆ
Ito积分公式。
（2）掌握ˆ
（3）了解随机微分方程。
（4）理解Black－Scholes模型，了解随机微分方程在期权定价中的应用。
2．教学内容
（1）关于随机游动的积分
（2）关于Brown运动的积分
Ito积分过程
（3）ˆ
Ito公式
（4）ˆ
（5）随机微分方程
（6）应用-金融衍生产品定价
第九章 Levy过程与关于点过程的随机积分简介（选学）
1．教学基本要求
（1）了解Levy过程。
（2）了解关于Poission点过程的随机积分。
2．教学内容
（1）Levy过程
（2）关于Poission点过程的随机积分
四、学时分配
五、实践环节
（无）
六、教学方法的建议
本课程主要应采用讲授法与练习法相结合，以讲授法为主，还可穿插使用调查法和讨论法，教学中一定要注意与生活实际相结合（特别是日常生活中所遇所闻），综合采用发现法、问题教学法、案例教学法等教学方法。
尽量地使近年来的最新成果，观点与
倾向在教学中有所反映，要尝试使用不同的方法证明经典定理、结论，通过对某些领域的粗略介绍使学生对某些领域研究的模型、思想、问题与方法的概貌有所了解，从而能在某一领域开始创造性的发展。
七、主要教材及参考书
教材：《应用随机过程》，张波，张景肖编, 清华大学出版社, 2004年，第1版。
参考书：[1]概率论与数理统计，中山大学统计科学系，高等教育出版社，2005年，第3版．
[2]数学分析，华东师范大学数学系，高等教育出版社，2010年，第4版．
[3]高等代数，北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等教育出版社，2003年，第3版．
[4] 随机过程，S.M.劳斯著，中国统计出版，1997年，第1版．
[5] 应用随机过程，刘嘉琨编，科学出版社，2000年，第1版．
[6]随机过程基础，应坚刚、金蒙伟，复旦大学出版社，2005年，第一版．
[7]概率论及其应用，威廉费勒，人民邮电出版社，2008年，第一版．
[8]随机过程，SM.劳斯，中国统计出版社，1997年，第一版．
[9]随机过程通论，王梓坤，北京师范大学出版社，1996年第一版．
[10]随机过程导论，陈木法、毛永华，高等教育出版社，2007年第一版．
[11]常微分方程，东北师范大学数学系微分方程教研室，高等教育出版社，1982年10月，第一版．。