应用随机过程试题及答案
一．概念简答题（每题5 分，共40 分）
1. 写出卡尔曼滤波的算法公式
2. 写出ARMA（p,q）模型的定义
3. 简述Poisson 过程的随机分流定理
4. 简述Markov 链与Markov 性质的概念
5. 简述Markov 状态分解定理
6．简述HMM 要解决的三个主要问题得分B 卷（共9 页）第2 页7. 什么是随机过程，随机序列？8．什么是时齐的独立增量过程？二．综合题（每题10 分，共60 分）
1 ．一维对称流动随机过程n Y , 0 1 0, , n n k k Y Y X ? ? ? ?
1 ( 1) ( 1) ,
2 k k k X p x p x ? ? ? ? ? 具有的概率分布为且1
2 , , ... X X 是相互独立的。
试求1 Y 与2 Y 的概率分布及其联合概率分布。
2. 已知随机变量Y 的密度函数为其他而且，在给定Y=y 条件下，随机变量X 的条件密度函数为? ? 其他试求随机变量X 和Y 的联合分布密度函数( , ) f x y . 得分B 卷（共9 页）第3 页
3. 设二维随机变量( , ) X Y 的概率密度为( ,其他试求p{x<3y} 4．设随机过程( ) c o s 2 , ( , ) , X t X t t ? ? ? ? ? ? X 是标准正态分布的随机变量。
试求数学期望( ) t E X ，方差( ) t D X ，相关函数1 2 ( , ) X R t t ，协方差1 2 ( , ) X C t t 。
B 卷（共9 页）第4 页5 ．设马尔科夫链的状态空间为I={0,1}, 一步转移概率矩阵为
P= 0 ，求其相应的极限分布。
6．设I={1,2,3,4}，其一步转移概率矩阵P= 1 1 0 0 2 2 1 0 0 0 1 ，试画出状态传递图，对其状态进行分类，确定哪些状态是常返态，并确定其周期。
B 卷（共9 页）第5 页河北科技大学2010——2011 学年第一学期《应用随机过程》试卷（B）
答案一．概念简答题（每题5 分，共40 分）
1. 写出卡尔曼滤波的算法公式答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k) (1)
P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2) X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…
(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…
(5) 2．写出ARMA（p,q）模型的定义答: 自回归移动平均ARMA(p,q) 模型为1 1 2 2 1 1 2 2 t t t p t p t t q t q X X X X ?其中，p 和q 是模型的自回归阶数和移动平均阶数；, ? ? 是不为0 的待定系数；t ? 是独立的误差项；t X 是平稳、正态、零均值的时间序列。
3 简述Poisson 过程的随机分流定理答：设t N 为强度为? 的poisson 过程，如果把其相应的指数流看成顾客流，用与此指数流相互独立的概率p,把每个到达的顾客，归入第一类，而以概率1-p 把他归入第二类。
对i=1,2,记( ) i t N 为t 前到达的第i 类顾客数，那么(1) ( 2 ) { : 0} , { : 0} t t N t N t ? ? 分别为强度为p? 与（1-p）? 的poisson 过程，而且这两个过程相互独立。
4 简述Markov 链与Markov 性质的概念答：如果随机变量是离散的，而且对于0 n ? ? 及任意状态0 1 1 1 1 0 0 1 , , , , , ( | , , , ) ( | ) n n n n n n n i j i i p j i i i p j i 都有，该随机序列为Markov 链，该对应的性质为Markov 性质。
5. 简述Markov 状态分解定理答：(1) Markov 链的状态空间S 可惟一分解为1 2 S T H H ? ? ? ? ，其中T 为B 卷（共9 页）第6 页暂态的全体，而i H 为等价常返类。
（2）若Markov 链的初分布集中在某个常返类k H 上，则此Markov 链概率为1 地永远在此常返类中，也就是说，它也可以看成状态空间为k H 的不可约Markov 链。
6．简述HMM 要解决的三个主要问题答：(1)从一段观测序列{ , } k Y k m ? 及已知的模型( , , ) A B ? ? ? 出发，估计n X 的最佳值，称为解码问题。
这是状态估计的问题。
(2) 从一段观测序列{ , } k Y k m ? 出发，估计模型参数组( , , ) A B ? ? ? ，称为学习问题。
这是参数估计问题。
(3) 对于一个特定的观测链{ , } k Y k m ? ，已知它可能是由已经学习好的若干模型之一所得的观测，要决定此观测究竟是得自于哪一个模型，这称为识别问题，就是分类问题。
7．什么是随机过程，随机序列？答：设T 为[0，+? ）或（- ? ，+? ），依赖于t(t? T)的一族随机变量（或随。