2. （1） 求参数为的()b p ,分布的特征函数，其概率密度为Γ()()是正整数p b x x e x p b x p bx p p ,0 000,1>⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−（2）求其期望和方差。

（3）证明对具有相同参数的b Γ分布，关于参数具有可加性。

p 函数有下面的性质：解 （1） 首先，我们知道Γ()()! 1−=Γp p根据特征函数的定义，有()[]()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()pp p x jt b p p xjt b p p x jt b p p xjt b p p xjt b p p bxp p jtxjtxjtXX jt b b jt b p p b dxe x jt b p p b dx e x jt b p p b dx e x jt b p p b e x jt b p b dx e x p b dx e x p b edx x p e e E t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−−Γ=−−Γ==−−Γ=−−Γ+−−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−∞−−−−−∞∞∞−!1!11110010202010110L所以()pX jt b b t f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=（2）根据期望的定义，有[]()()()()()()()bpdx x p b p dx e x p b b p dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x xp X E m bx p p bx p p bxp p bx p p bx p p X ==Γ=Γ+−Γ=Γ=Γ===∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−−∞−∞−∞−−∞∞−010100011类似的，有[]()()()()()()()()()()()()()2201200010101222111111b p p dx x p b p p dx e x p b b p p dx e x b p p b dx e x bp p b e x bp b dx e x p b dx e x p b x dx x p x XE bxp p bxp p bxp p bxp p bx p p bx p p +=+=Γ+==+Γ=+Γ+−Γ=Γ=Γ==∫∫∫∫∫∫∫∞∞−∞−−∞−∞−∞−+∞−+∞−−∞∞−L的方差为X 所以，[]()222221b pb p b p p mXE D XX =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=−=（3）()()()jt jnt jt e n e e t f −−=115. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

()t f 解. 根据定理 1.3.2（第10页）, 我们只需证明是连续非负定，且。

()10=f 注意到()()()()∑∑=−===−−=−−=n k jkt n k jktjt jt njtjt jtjnt jt e n ene e e n e en e e t f 111111所以连续且. 下面我们证明()t f ()10=f ()t f 是非负定的（性质1.3.3，第8页）。

对任意给定的自然数M ，实数以及复数，由于M t t t ,,,21L M a a a ,,,21L ()()()()()()∑∑∑∑==−−−==−−=−=Mi Mk k i t t j t t jn t t j Mi Mk k i k i a a e n e e a a t t f A k i k i k i 111111 ()()()()()()()()()()()Aa a e n e e a a e n e e a a t t f A Mk M i i k t t j t t jn t t j Mi Mk ki t t j t t jn t t j M i Mk k i k i i k i k ii k k i k i k i =−−=−−=−=∑∑∑∑∑∑==−−−−==−−−−−−==1111111111ne jltA ,,2,1n l L =所以是实数。

其次，容易证明对任意函数是非负定的。

因此，函数是非负定的。

()t f ()t f 是特征函数。

()t f 下面我们求对应的随机变量的概率密度函数。

根据定理1.3.1（第10页），()()()()∑∑∑∫∫===∞∞−−∞∞−−−=−===nk n k n k jktjtx jtxk x n k x n dte e n dt et f x p 11112212121δπδπππ()211t t f +=5. 试证函数为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

解. 容易证明连续且()t f ()10=f ()t f ，下面我们证明是非负定的。

对任意给定的自然数M ，实数以及复数，首先，由于M t t t ,,,21L M a a a ,,,21L ()()∑∑∑∑====−+=−=Mi Mk k i ki Mi Mk k i k i a a t t a a t t f A 1121111， 是实数。

其次，A 显然()()(){}(){}max 11max 11112212,112,11211≥+++−+=−+≥−+=−=∑∑∑∑∑∑======M k i ki M i Mk kik i ki Mi Mk k i k i Mi Mk k i k i a a a t t aa t t a a t t a a t t f A L所以是非负定的。

()t f 最后，根据定理1.3.1（第10页），()()x jtxjtxedt e t dt t f ex p 211121212=+==∫∫∞∞−−∞∞−−ππ()∞∞−∈,x()2,σa N 7. 设相互独立服从正态分布n X X X ,,,21L 。

试求维向量的分布，并求其均值向量和协方差矩阵，再求n ∑==ni iX n X 11(n X X X ,,,21L )的概率密度函数。

()2,σa N 解. 由于相互独立服从正态分布n X X X ,,,21L ，维向量的均值向量为n ()a a a ,,,L =μ(n X X X ,,,21L )，协方差矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222σσσOB ，()的分布为()B N ,μ。

nX X X ,,,21L ()1,,1,11L nl =∑==ni i X n X 11，则，a l ='μ根据题意，。

令()n n n lBl 2222'11111,,1,11σσσσ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=M OL根据性质1.4.4（第14页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=na N lBl l N X 2'',,~σμ()1,0N 11. 设相互独立，且都服从211X X Y +=321,X X X 和。

试求随机变量和组成的随机向量()21,Y Y Y =的特征函数。

312X X Y +=解. 令，则 ()321,,X X X X =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111,0~N X ()()()XA X X X X X X X Y Y Y =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++==:100111,,,,321312121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2112100111101011111'A A根据性质1.4.5（第15页），()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2112,0,~N B N Y Y Y μ 根据定理1.4.1（第13页），()()222121''exp 211221exp 21exp t t t t t t t tB t j t f Y Y Y −−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=μ()1,0N 。

试求 12. 设相互独立，且都服从321,X X X 和()321,,X X X 的特征函数（1）随机向量（2）设,,,321321211X X X S X X S X S ++=+==求随机向量()的特征函数。

321,,S S S ()21,Y Y （3）和的特征函数。

121X X Y −=232X X Y −=组成的随机向量跟上题的解法完全一样。

()1,0N 15. 设是相互独立同服从正态分布Y X ,的随机变量，讨论和YXV =的独立性。

22Y X U +=解. 我们知道，随机向量的概率密度函数为(Y X ,)()2,2221,y x Y X e y x f +−=πYXV =根据，有 。

由0>U YV X =22Y X U +=知，代入，可得，所以Y 由两个解，即：22Y X U +=()()22221Y V Y YV U +=+=,1 ,12221VU Y VU Y +−=+=类似的，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=212111V U Y V V U X ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+−=212111V U Y V VU X 下面我们求Jacobi 行列式。

容易验证：()2/3211V U V X +=∂∂2112V U VU X +=∂∂， ，()2/3211V VU V Y +−=∂∂21121VU U Y +=∂∂， ， 所以，()()()21111111121,,VVY UY V X U X V U Y X J +−=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= 类似地，()()()2222121,,VV U Y X J +−=∂∂=因此，随机向量的概率密度函数为(V U ,)()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−+−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=2exp 11211211121exp 2121,11,1,222222222,122,,u v v vu v v u J v u v v u f J v uv v u f v u g Y X Y X V U ππ由上式可得U 和V 的概率密度函数：()()()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−2exp 21112exp 212exp 1121,22,u dv v u dv u v dv v u g u g V U U ππ()()()()()()202022,112exp 21111212exp 11212exp 1121,v u v du u v du u v du v u g v g V U V +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+==∞∞∞∞−∞∞−∫∫∫ππππ 所以，()()()v g u g v u g V U V U =,,即是独立的。