函数的概念一：定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 y=f(x)，x ∈A. 其中，x 叫做自变量，与x 值相对应的y 值叫做函数值.例题：1、下列各曲线中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A 、B 、C 、D 、二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 的解析式。
），求，）和（），（，过点（：已知二次函数例)(1-20,301)(2x f x f)3)(1()(34)(3411240390),0()(22--=+-=∴⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=++≠++=x x a x f x x x f c b a c b a c b a c b a a c bx ax x f 法二：设解得由题得：解：设 二、配方法：例2 已知221)1(xx x x f +=+)0(>x ，求 ()f x 的解析式解：2)1()1(2-+=+xx x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t xx x x f 2)1(+=+∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f1)(2-=∴x x f )1(≥xx x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点则⎪⎩⎪⎨⎧=+'-=+'3222y y xx ，解得：⎩⎨⎧-='--='y y x x 64，点),(y x M '''在)(x g y =上x x y '+'='∴2把⎩⎨⎧-='--='yy x x 64代入得：)4()4(62--+--=-x x y整理得672---=x x y∴67)(2---=x x x g五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f 解 x xf x f =-)1(2)( ①显然,0≠x 将x 换成x1，得： xx f x f 1)(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得：xx x f 323)(--= 例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式 解 )(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，)()(),()(x g x g x f x f -=-=-∴11)()(-=+x x g x f 又 ① ， 用x -替换x 得：11)()(+-=-+-x x g x f 即11)()(+-=-x x g x f ② 解① ②联立的方程组，得11)(2-=x x f ， xx x g -=21)( 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，不妨令0x =，则有1)1(1)1()0()(2+-=-+=+--=-y y y y y y f y f 再令 x y =- 得函数解析式为：1)(2++=x x x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设)(x f 是定义在+N 上的函数，满足1)1(=f ，对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(，求)(x f解 +∈-+=+N b a ab b a f b f a f ,)()()(，，∴不妨令1,==b x a ，得：x x f f x f -+=+)1()1()(，又1)()1(,1)1(+=-+=x x f x f f 故 ① 分别令①式中的1,21x n =- 得：(2)(1)2,(3)(2)3,()(1),f f f f f n f nn -=-=--=将上述各式相加得：n f n f ++=-32)1()(，2)1(321)(+=+++=∴n n n n f +∈+=∴N x x x x f ,2121)(2 复合函数的定义一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:2()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+例1. 已知()f x 的定义域为](3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：由题意得35x -<≤ 3325x ∴-<-≤137x -<≤1733x ∴-<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33⎛⎤- ⎥⎝⎦. 练1.已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --例2. 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得23x ∴-≤≤639x ∴-≤≤ 42311x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-例3. 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1例4. 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a ,求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域 解: ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤mb x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+函数的值域的求法常用求值域方法直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
答案：值域是：]3,[-∞ 例3、函数221xy+=的值域.解：}210{≤<y y配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域． 例1、求()1f x x x =+-的值域．解：令10x t -=>，则21(0)x t t =-≥，222155()(1)1244f x f t t t t ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭≤，所以函数值域为5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，4．例2、求函数x x y 21--=的值域。
解：由021≥-x ，得21≤x 。
令()021≥=-t t x 得212t x -=，于是()11212122++-=--=t t t y ，因为0≥t ，所以21≤y 。
故所求函数值域为[-∞，12 ]。
例3、求函数x x y 21-+=的值域.数形结合法。
例1、 求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩，≤ ≤≤的值域．分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域． 解：作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-， 值域为[40]-，． ∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。