绝对值与一元一次方程每日一练1．方程8﹣|x+3|＝﹣2的解是（）A．x＝10B．x＝7C．x＝﹣13D．x＝7或x＝﹣132．方程|2x+1|＝7的解是（）A．x＝3B．x＝3或x＝﹣3C．x＝3或x＝﹣4D．x＝﹣43．解方程：（1）|3x﹣2|＝x（2）||x|﹣4|＝54．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例如：解关于x的方程2（x2﹣1）﹣5（x2﹣1）+9＝0，设x2﹣1＝m，原方程可转化为2m﹣5m+9＝0，解得m ＝3，所以x2﹣1＝3，方程的解为x＝2或﹣2．请选择适当方法解决下列问题：（1）解方程：|3x|﹣1＝﹣|3x|+2；（2）定义一种新运算：a*b＝3a﹣b，解方程：2*（﹣1*y）＝﹣1*y．5．方程||+||＝0的解是（）A．1B．无数个C．0D．无解6．满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．5个7．适合关系式|x+|+|x﹣|＝2的整数解x的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．方程|x﹣3|+|x+3|＝6的解的个数是（）A．2B．3C．4D．无数个9．若关于x的方程|x|＝2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣110．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x﹣3|＝2．解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．所以原方程的解是x＝5或x＝1．（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+111．关于x的方程2|x|＝ax+5有整数解，则整数a的所有可能取值的乘积为（）A．9B．﹣3C．1D．312．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2．②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x|＝5的解是．（2）方程|x﹣2|＝3的解是．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|＝9．13．方程|x+1|﹣2|x﹣2|＝1的解为．绝对值与一元一次方程每日一练1．方程8﹣|x+3|＝﹣2的解是（）A．x＝10B．x＝7C．x＝﹣13D．x＝7或x＝﹣13【分析】将方程变形为：|x+3|＝10，根据绝对值的意义有两个值，解出即可．【解答】解：8﹣|x+3|＝﹣2，10＝|x+3|，x+3＝10或﹣10，∴x＝7或﹣13，故选：D．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，理解绝对值的意义是关键．2．方程|2x+1|＝7的解是（）A．x＝3B．x＝3或x＝﹣3C．x＝3或x＝﹣4D．x＝﹣4【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，再根据解一元一次方程的步骤解答，可得答案．【解答】解：当x≥﹣时，方程化简为2x+1＝7，解得x＝3；当x＜﹣时，方程化简为﹣2x﹣1＝7，解得x＝﹣4；故选：C．【点评】本题考查了解含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键．3．解方程：（1）|3x﹣2|＝x（2）||x|﹣4|＝5【分析】（1）去掉绝对值符号得到3x﹣2＝x或3x﹣2＝﹣x，求解一元一次方程即可；（2）去掉绝对值符号得到|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），根据|x|＝9求解x．【解答】解：（1）|3x﹣2|＝x，∴3x﹣2＝x或3x﹣2＝﹣x，∴x＝1或x＝；（2）||x|﹣4|＝5，∴|x|﹣4＝5或|x|﹣4＝﹣5，∴|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），∴x＝9或x＝﹣9；【点评】本题考查绝对值方程的解法；根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，转化为一元一次方程求解是解题关键．4．解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．例如：解关于x的方程2（x2﹣1）﹣5（x2﹣1）+9＝0，设x2﹣1＝m，原方程可转化为2m﹣5m+9＝0，解得m ＝3，所以x2﹣1＝3，方程的解为x＝2或﹣2．请选择适当方法解决下列问题：（1）解方程：|3x|﹣1＝﹣|3x|+2；（2）定义一种新运算：a*b＝3a﹣b，解方程：2*（﹣1*y）＝﹣1*y．【分析】（1）把3x看作一个整体，按照一元一次方程的解法解方程即可；（2）根据新定义转换成一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）|3x|﹣1＝﹣|3x|+2，|3x|＝3，∴|3x|＝2，∴3x＝±2，∴x＝±；（2）2*（﹣1*y）＝3×2﹣（﹣3﹣y）＝﹣3﹣y，绝对：y＝﹣6．【点评】此题主要考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，新定义的理解和应用，理解新定义是解本题的关键．5．方程||+||＝0的解是（）A．1B．无数个C．0D．无解【分析】分类讨论：x＜1，x≥1，根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案．【解答】解：①当x＜1时，原方程化简得+＝0，去分母，得3（1﹣x）+2（1﹣x）＝0，去括号，得3﹣3x+2﹣2x＝0，移项，得﹣3x﹣2x＝﹣3﹣2，合并同类项，得﹣5x＝﹣5，系数化为1，得x＝1（不符合题意的解要舍去）；②当x≥1时，原方程化简得+＝0，去分母，得3（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，去括号，得3x﹣3+2x﹣2＝0，移项，得3x+2x＝3+2，合并同类项，得5x＝5，系数化为1，得x＝1，综上所述：x＝1是方程的解．故选：A．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．6．满足|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．5个【分析】根据|x+3|+|x﹣1|＝4可得出﹣1≤x≤3，再根据x为整数即可得出x的值，查出个数即可得出结论．【解答】解：∵|x+3|+|x﹣1|＝4，∴﹣3≤x≤1，∵x为整数，∴x的值为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1．故选：D．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，根据|x+3|+|x﹣1|＝4得出﹣3≤x≤1是解题的关键．7．适合关系式|x+|+|x﹣|＝2的整数解x的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】分类讨论：①x＞，②x＜﹣，③﹣，根据分类讨论，可去掉绝对值，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x＞时，原式可化为：x++x﹣＝2，解得：x＝，不适合题意舍去；当x＜﹣时，原式可化为：﹣x﹣﹣x+＝2，解得：x＝﹣，不适合题意舍去；当﹣时，原式可化为：x+﹣x+＝2，解得：2＝2．说明当﹣时，关系式|x+ |+|x﹣|＝2恒成立，所以满足条件的整数解x有：0和1．故选：C．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键，注意解要在分类的范围内．8．方程|x﹣3|+|x+3|＝6的解的个数是（）A．2B．3C．4D．无数个【分析】根据x的取值范围取绝对值，所以需要分类讨论：①当x≥3时；②当﹣3≤x＜3时；③当x ＜﹣3时；根据x的三种取值范围来解原方程即可．【解答】解：当x≥3时，原方程可变形为：x﹣3+x+3＝6，解得：x＝3，当﹣3≤x＜3时，原方程可变形为：﹣x+3+x+3＝6，得出原方程有无数个解；当x＜﹣3时，原方程可变形为：﹣x+3﹣x﹣3＝6，解得：x＝﹣3，则方程|x﹣3|+|x+3|＝6的解的个数是无数个；故选：D．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程．解这类题目时，一定要分类讨论，以防漏解．9．若关于x的方程|x|＝2x+1的解为负数，则x的值为（）A．B．C．D．﹣1【分析】分两种情况去解方程即可①x≥0；②x＜0．【解答】解：∵x＜0时，去绝对值得，﹣x＝2x+1，得x＝﹣．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的去绝对值的解法．要分类讨论．10．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x﹣3|＝2．解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．所以原方程的解是x＝5或x＝1．（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b+1【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．【解答】解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2﹣4＝0，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）﹣4＝0，解得x＝﹣．所以原方程的解是x＝2或x＝﹣．（2）①当b+1＜0，即b＜﹣1时，原方程无解，②当b+1＝0，即b＝﹣1时：原方程可化为：x﹣2＝0，解得x＝2；③当b+1＞0，即b＞﹣1时：当x﹣2≥0时，原方程可化为x﹣2＝b+1，解得x＝b+3；当x﹣2＜0时，原方程可化为x﹣2＝﹣（b+1），解得x＝﹣b+1．【点评】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．11．关于x的方程2|x|＝ax+5有整数解，则整数a的所有可能取值的乘积为（）A．9B．﹣3C．1D．3【分析】这里有绝对值符号，解方程第一步主要要考虑去掉绝对值符号，因此要分x≥0和x＜0两种情况．再把方程的解表示出来，根据x和a都是整数讨论取值情况．【解答】解：当x≥0时，原方程可化为2x＝ax+5∴（2﹣a）x＝5∵原方程有解∴a≠2∴x＝∵原方程有整数解x，a为整数，x≥0∴2﹣a＝1或5∴a＝1或﹣3当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝ax+5∴﹣（2+a）x＝5∵原方程有解∴a≠﹣2∴x＝﹣∵原方程有整数解x，a为整数，x＜0∴2+a＝1或5∴a＝﹣1或3综上所述，a的取值为±1、±3整数a的所有可能取值的乘积为9故选：A．【点评】本题考查了绝对值的性质、分式求整数值、解一元一次方程．这里注意，含绝对值的化简只要要看清绝对值符号内式子值得正负，这往往是分类讨论的信号．分式求整数值，一般都把分式化成整式加分子是常数的分式两部分考虑．12．我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x|＝|x﹣0|，也就是说|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为：|x﹣y|表示在数轴上数x、y对应点之间的距离；在解题中，我们常常运用绝对值的几何意义．①解方程|x|＝2，容易看出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的解为x＝±2．②在方程|x﹣1|＝2中，x的值就是数轴上到1的距离为2的点对应的数，显然x＝3或x＝﹣1．③在方程|x﹣1|+|x+2|＝5中，显然该方程表示数轴上与1和﹣2的距离之和为5 的点对应的x值，在数轴上1和﹣2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或﹣2的左边．若x的对应点在1的右边，由图示可知，x＝2；同理，若x的对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3，所以原方程的解是x＝2或x＝﹣3．根据上面的阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x|＝5的解是x＝±5．（2）方程|x﹣2|＝3的解是x＝5或﹣1．（3）画出图示，解方程|x﹣3|+|x+2|＝9．【分析】（1）由于|x|＝5表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，所以x＝±5；（2）由于|x﹣2|＝3中，x的值就是数轴上到2的距离为3的点对应的数，显然x＝5或﹣1；（3）方程|x﹣3|+|x+2|＝9表示数轴上与3和﹣2的距离之和为9的点对应的x值，在数轴上3和﹣2的距离为5，满足方程的x的对应点在3的右边或﹣2的左边，画图即可解答．【解答】解：（1）∵在数轴上与原点距离为5的点对应的数为±5，∴方程|x|＝5的解为x＝±5；（2）∵在方程|x﹣2|＝3中，x的值是数轴上到2的距离为3的点对应的数，∴方程|x﹣2|＝3的解是x＝5或﹣1；（3）∵在数轴上3和﹣2的距离为5，5＜9，∴满足方程|x﹣3|+|x+2|＝9的x的对应点在3的右边或﹣2的左边．若x的对应点在3的右边，由图示可知，x＝5；若x的对应点在﹣2的左边，由图示可知，x＝﹣4，所以原方程的解是x＝5或x＝﹣4．故答案为：x＝±5；x＝5或﹣1．【点评】本题考查了绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论及数形结合的思想，同时考查了学生的阅读理解能力．13．方程|x+1|﹣2|x﹣2|＝1的解为x＝或x＝4．【分析】分类讨论：x＜﹣1，﹣1≤x＜2，x≥2，根据绝对值的意义，可化简方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：当x＜﹣1时，原方程等价于x﹣5＝1，解得x＝4（不符合题意要舍去）；当﹣1≤x＜2时，原方程等价于3x﹣3＝1，解得x＝；当x≥2时，原方程等价于﹣x+5＝1，解得x＝4；综上所述：x＝或x＝4．故答案为：x＝或x＝4．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题关键．。