25立体几何中的最值问题立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。

下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO⊥平面ABCD 于O，SO=2，底面边长为，点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，则P、Q 两点的最短距离为（）A. B.5 5C. 2D. 1解析：如图1，由于点P、Q 分别在线段BD、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。

过O 作OQ⊥SC，在Rt△SOC 中，OQ = 中。

又P 在BD 上运动，且当P 运动5到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。

故选B。

5图 1二、定性分析法求最值例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。

AB⊥CD，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为。

解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O，连结AO，则∠BAO=30°。

过B 作BE//CD 交平面α 于E，则BE=CD。

连结AE，因为AB⊥CD，故AB⊥BE。

则在Rt△ABE 中，BE=AB·tan∠BAE≥AB·tan ∠BAO=3·tan30°= 。

故CD ≥ 3 。

2 52 52 53图 2三、展成平面求最值例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。

平面α分别截棱AB、BC、CD、DA 于点P、Q、R、S，则四边形PQRS 的周长的最小值是（）A. 2aB. 2bC. 2cD. a+b+c图3-1解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。

由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A 与A’、D 与D’在四面体中是同一点，且AD // BC // A' D'，AB// CD'，A、C、A’共线，D、B、D’共线，AA'=DD' = 2BD 。

又四边形PQRS 在展开图中变为折线S’PQRS，S’与S 在四面体中是同一点。

因而当P、Q、R 在S’S 上时，S ' P +PQ +QR +RS 最小，也就是四边形PQRS 周长最小。

又S ' A =SA'，所以最小值L =SS '=DD' = 2BD = 2b 。

故选B。

图3-2四、利用向量求最值例4. 在棱长为1 的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为。

解析：以A 为坐标原点，分别以AB、AD、AE 所在直线为x，y，z 轴，建立如图 4 所示的空间直角坐标→→系，则B（1，0，0），G（1，1，1）。

根据题意设P（x，0，x），则BP=(x-1，0，x)，GP=(x-1，-1，x-1)，那么2x 2 - 4x +3 (x - 1) + 0 - 2 ⎛ 22 ⎫ ⎝ ⎪ 2 ⎭ 1 +222 + 2 AM 2 + AN 2 2图 4GP + PB = +⎛ ⎫⎪ = ⎪ ⎪ ⎝ ⎭式子 ⎛ 2 ⎫ + ⎛ 1 1 ⎫ 可以看成 x 轴正半轴上一点（x ，0，0）到 xAy 平面上两点 1， ，0⎪ 、 ，，0⎪ 的距离之和，其最小值为 。

所以 GP+PB 的最小值为 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭⋅ = 。

立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例 1. 正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，各棱长均为 2，M 为 AA 1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N ，如图 1，沿棱柱的侧棱 AA 1 剪开，并展开，则 MN ＝＝＝2x 2 - 2x + 1⎛ 1 ⎫2 x - ⎪ + 0 - ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭(x - 1) + 0- ⎝2⎛ 2⎫ 2 ⎪ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫2 x - ⎪ + 0 - ⎪ ⎛ 1 ⎫2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 + 2 2 2 12 + (2 +1)210+AM 2 + AN 2- 2 AM ⋅ AN c os120︒ 12 + ( 3)2 + 2 ⨯1⨯ 3 ⨯ 124 + 3 104 + 3 (1 - CP ) 2 + BQ 2=(2) 从底面到 N点，沿棱柱的 AC 、BC 剪开、展开，如图 2.则 MN ＝＝＝∵＜ ∴ MN min ＝.例 2.如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。

点 M 在AC 上移动，点 N在 BF 上移动，若 CM=BN= a (0 < a < 2). （1）求 MN 的长；（2）当 a 为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面MNA 与面 MNB 所成的二面角α的大小。

解析：（1）作 MP ∥AB 交 BC 于点 P ，NQ ∥AB 交 BE 于点 Q ，连接 PQ ，依题意可得 MP ∥NQ ，且 MP=NQ ，即 MNQP 是平行四边形。

∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴ AC = BF = CPa BQ ,1 1a即 CP = BQ =a∴ MN = PQ == = (a -2)2 + 1(0 < a < 2) 2 2（2）由（1）知: 当a = 2 时，MN = 2 2，即M , N 分别移动到AC , BF 的中点时 22(3) 取 MN 的中点 G ，连接 AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。

又 AG = BG =定理有6 ，所以由余弦42 +- 1α= arccos(- 1)cos α= 44= -1 。

故所求二面角3。

EF2 • 6 •6 34 44 + 32 22(1 - a )2 + ( a )2=MN2(1 + cos θ)(x - a )2 + 1 (1 - cos θ)a 22 2 2 MP 2 + PN 2 x 2 + y 2 - xy - 2x +1例 3. 如图，边长均为 a 的正方形 ABCD 、ABEF 所在的平面所成的角为θ(0 < θ< N 在 BF 上，若 AM=FN ,(1)求证:MN//面 BCE ; (2)求证:MN ⊥ AB; (3)求 MN 的最小值.π) 。

点 M 在 AC 上，点 2解析：(1)如图,作MG//AB 交 BC 于G, NH//AB 交 BE 于 H, MP//BC 交AB 于 P, 连PN, GH , 易证 MG//NH,且MG=NH, 故 MGNH 为平行四边形,所以 MN//GH , 故 MN//面BCE ;(2) 易证 AB ⊥ 面 MNP, 故MN ⊥ AB ;(3)∠MPN 即为面 ABCD 与 ABEF 所成二面角的平面角,即∠MPN = θ,设 AP=x , 则BP=a －x , ＮP=a －x , 所以： MN =x 2 + (a - x )2 - 2x (a - x ) cos θ=，故当 x =a时，ＭＮ有最小值2(1 - cos θ)a ． 2例 4.如图，正方形 ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=x ,BN=y,D (0 < x , y < 2). （1）求 MN 的长(用 x,y 表示)；（2）求 MN 长的最小值，该最小值是否是异面直线 AC ，BF 之间的距离。

A解析：在面 ABCD 中作 MP ⊥ AB 于 P ，连 PN ，则 MP ⊥ 面 ABEF ，所以 MP ⊥ PN ，PB=1-AP=x 在∆ PBN2中，由余弦定理得：PN 2= (2x )2+ y 2 + - 2xy c os 450= 1x 2 + y 2 - xy ，在 Rt ∆PMN 中，MN= = 2= (0 < x , y < 2). ；2 (1 - 2 x )2 + 1 x 2 + y 2 - xy 2 21，（2）MN = ，故当 x = 2 2 ， y = 2 3 3时，MN 有最小值。

且该最小值是异面直线 AC ，BF 之间的距离。

3例 5. 如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a,AC ＝b,D 是斜边AB 上的点，以 CD 为棱把它折成直二面角A — CD —B 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作 AM⊥CD 于 M ，BN⊥CD 于 N ，于是AM ＝bsinθ,CN＝asinθ. ∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A —CD —B 是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM 与BN 成 90°的角，于是 AB ＝＝ a2+ b 2 - ab sin 2 θ≥ a 2 + b 2 - ab .∴当θ＝45°即 CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为a 2 +b 2 - ab .例 6. 正三棱锥A-BCD ，底面边长为 a ，侧棱为 2a ，过点 B 作与侧棱 AC 、AD 相交的截面，在这样的截面三角形中，求(1)周长的最小值；(2)周长为最小时截面积的值，(3)用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体积与三棱锥体积之比.解析：(1)沿侧棱 AB 把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图 1，当周长最小时，EF 在直线 BB′上，∵ΔABE≌ΔB′AF，∴AE＝AF ，AC ＝AD ，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，∴BE＝BC ＝a ，同理 B′F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴ DF DB ' DB ' DF AB ' a a 1＝ ＝ , 2a 21 ∴DF＝ 23 a,AF ＝ 23 a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝a+4 11 a+a ＝4a,∴截面三角形11 的周长的最小值为a.4x 2+ y 2- xy - 2x + 1( y - x )2 + 3 (x - 2 2 4 3 2 )2 + 1 3 3 b 2 sin 2 θ+ a 2 cos 2 θ+ (a sin θ- b cos θ)2＝a 2 - (3a )2 855 55(2) 如图 2，∵ΔBEF 等腰，取 EF 中点 G ，连 BG ，则 BG⊥EF.∴BG＝＝＝ a81 ∴S ＝ 1· EF·BG＝ 3 ·a· a ＝ a 2.ΔBEF2 4 8 64(3) ∵V A-BCD ＝V B-ACD ，而三棱锥B —AEF ，三棱锥 B —ACD 的两个高相同，所以它们体积之比于它们的两底面积之比，即V B - AEFV B -CADS△ AEF＝S △ ACDEF 29＝＝CD 216评析 把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.本题中的四面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这个性质.二、面积最值问题例 7. 如图 1 所示，边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5 的三角形简易遮阳棚，其A 、B 是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成 30°角，试问：遮阳棚 ABC 与地面成多大角度时，才能保证所遮影面 ABD 面积最大?解析： 易知，ΔABC 为直角三角形，由C 点引AB 的垂线，垂足为 Q ，则应有 DQ 为 CQ 在地面上的斜射影，且AB 垂直于平面CQD ，如图 2 所示.12 因太阳光与地面成 30°角，所以∠CDQ＝30°，又知在ΔCQD 中，CQ ＝ 5，由正弦定理，有CQ sin 30︒ QD ＝sin ∠QCD6 即 QD ＝5sin∠QCD.为使面 ABD 的面积最大，需 QD 最大，这只有当∠QCD＝90°时才可达到，从而∠CQD＝ 60°.故当遮阳棚 ABC 与地面成 60°角时，才能保证所遮影面ABD 面积最大.例 8. 在三棱锥 A —BCD 中，ΔABC 和ΔBCD 都是边长为 a 的正三角形，二面角 A —BC —D ＝φ，问φ为何值时，BE 2- EG23 55 2B 1 FDG⎪ [ ,三棱锥的全面积最大。