专题4.4 立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。

二．解题策略类型一距离最值问题AB=，若线段DE上存在点P 【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2⊥，则边CG长度的最小值为（）使得GP BPA. 4B. 43C.D. 23【答案】D又22002B G a （，，），（，，），所以2,2,,,2,.22ax ax BP x GP x a ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r() 24022ax ax PB PG x x a ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭u u u n r u u u r .显然0x ≠且2x ≠.所以221642a x x =--. 因为()0,2x ∈，所以(]220,1x x -∈.所以当221x x -=， 2a 取得最小值12.所以a 的最小值为23.故选D.【指点迷津】利用图形的特点，建立空间直角坐标系，设CG 长度为a 及点P 的坐标，求BP GP u u u r u u u r与的坐标，根据两向量垂直，数量积为0，得到函数关系式221642a x x =--，利用函数求其最值。

举一反三1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是_____。

【答案】 32542⎡⎢⎣⎦∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，∴点P必在线段MN上。

在Rt△A1B1M中，22111115 12A M AB B M ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，同理在Rt△A1B1N中，可求得15 2A N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M或N处时A1P最长，又222211523224AO A M OM⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以线段A1P长度的取值范围是325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a 的正方体,E和F分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）A. B. C. a D.【答案】B3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，点,P Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动点，则PEQ ∆周长的最小值为_______．10【解析】将面1111A B C D 与面11BB C C 折成一个平面，设E 关于11B C 的对称点为M ，E 关于1B C 对称点为N,则PEQ ∆周长的最小值为23110MN =+=类型二 面积的最值问题【例2】已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =， 23AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A. [],4ππB. []2,4ππC. []3,4ππD. (]0,4π 【答案】B关注. 举一反三1、在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥面ABC ，AB ⊥AC 且AC=1，AB=2，PA=3，过AB 作截面交PC 于D ，则截面ABD 的最小面积为（ ） A.10 B. 35 C. 310 D. 5 【答案】C【解析】如图所示，当PC ABD ⊥面时 ，截面ABD 的面积最小，此时应有min min 11310V 3310P ABC ABC S PA S PC S -=⨯⨯=⨯⨯⇒==V 。

故选C 。

2、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2,11==AA AB ，点P 是平面1111D C B A 内的一个动点，则三棱锥ABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．21 D ．41 【答案】BABC P -的正视图与俯视图的面积之比的最大值为2；故选B ．3、正三棱锥V-ABC 的底面边长为a 2，E,F,G,H 分别是VA,VB,BC,AC 的中点，则四边形EFGH 的面积的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,332a C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,632a D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,212a 【答案】BCB1A俯视图侧视图正视图1C 1DA1BPD【解析】不妨设侧棱长尾2b ,则322322⋅⋅>a b 即a b 33>．由已知条件得，四边形EFGH 的面积23333a a a ab s =⋅>=,故选B 。

类型三 体积的最值问题 【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（ ）A. B. C. D.【答案】A【指点迷津】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的. 举一反三1、已知AD 与BC 是四面体ABCD 中相互垂直的棱，若6AD BC ==，且60ABD ACD ∠=∠=o ，则四面体ABCD 的体积的最大值是A. 182B. 218 D. 36 【答案】A2、如图，已知平面l αβ=I ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积的最大值是（ ）A.24316 C.48 D.144 【答案】C【解析】,,DA DA βααβ⊂⊥∴⊥Q 面.Q ,,DA CB αα⊥⊥PAD ∴∆和PBC ∆均为直角三角形．,APD BPC PAD ∠=∠∴∆Q ∽PBC ∆.4,8,2AD BC PB PA ==∴=Q . 过P 作PM AB ⊥,垂足为M .则PM β⊥.令AM t =,()t R ∈.则2222PA AM PB BM -=-,即()222246PA t PA t -=--,22124,124PA t PM t t ∴=-∴--底面四边形ABCD 为直角梯形面积为()1486362S =+⨯=.()22136124122161216483P ABCD V t t t -∴=⨯⨯--=-++≤=.故C 正确.3、(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4π B.9π2C.6πD.32π3【答案】 B类型四 角的最值问题【例4】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。

设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为.【答案】25【解析】建立坐标系如图所示.设1AB =，则11(1,,0),(,0,0)22AF E =u u u r .设(0,,1)(01)M y y ≤≤，则1(,,1)2EM y =-u u u u r ，由于异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以221122cos 115451144yy y θ-+==⋅++⋅++.22281[14545y y y +=-++，令81,19y t t +=≤≤，则281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号.所以2211222cos 511555451144yy y θ-+==≤⨯=⋅++⋅++，当0y =时，取得最大值.z yxF ME QPD CBA【指点迷津】空间的角的问题，只要便于建立坐标系均可建立坐标系，然后利用公式求解。

解本题要注意，空间两直线所成的角是不超过90度的。

几何问题还可结合图形分析何时取得最大值。

当点M 在点P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当点M 向左移动时，.EM 与AF 所成角逐渐变小，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。

举一反三 1、矩形ABCD 中，，，将△ABC 与△ADC 沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD 与直线BC 成的角范围（包含初始状态）为（ ）A. B. C. D.【答案】C2、在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是BD 中点，点P 在线段11D B 上，直线OP 与平面BD A 1所成的角为α，则αsin 的取值范围是（ ） A ．]33,32[B ．]21,31[C ．]33,43[D ．]31,41[ 【答案】A3、在正四面体P ABC -中，点M 是棱PC 的中点，点N 是线段AB 上一动点，且AN AB λ=u u u v u u u v，设异面直线NM 与AC 所成角为α，当1233λ≤≤时，则cos α的取值范围是__________． 【答案】519719,3838⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设P 到平面ABC 的射影为点O ,取BC 中点D ,以O 为原点，在平面ABC 中，以过O 作DB 的平行线为x 轴，以OD 为y 轴，以OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正四面体P −ABC 的棱长为43则()()(((0,4,0,23,2,0,23,2,22,2,3,1,22A B C P M ---，由AN AB λ=u u u r u u u r ,得()23,64,0N λλ-，∴(()323,56,22,23,6,0NM AC λλ=---→-=-u u u u r ，∵异面直线NM 与AC 所成角为α, 1233λ≤≤，∴22443NM AC cos NM AC αλλ⋅==⋅-+u u u u r u u u ru u u u r u u u r ，设32t λ-=，则5733t剟∴222111124626()41t cos t t t tα==-+-⋅+， ∵1313375t <剟519719cos α.∴cos α的取值范围是519719⎣⎦. 三．强化训练1、正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ）A. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D2．如图，在矩形ABCD 中， 2,1AB AD ==,点E 为CD 的中点， F 为线段CE （端点除外）上一动点现将DAF ∆沿AF 折起，使得平面ABD ⊥平面ABC 设直线FD 与平面ABCF 所成角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13 B. 24 C. 12 D. 23【答案】C【解析】 如图：在矩形中，过点作的垂线交于点，交于点设，3、如下图，正方体1111ABCD A B C D -中， E 是1DD 的中点， F 是侧面11CDD C 上的动 点，且1B F //平面1A BE ，则1B F 与平面11CDD C 所成角的正切值的最小值是_________【答案】2【解析】设G,H,I 分别为CD 、CC 1、C 1D 1的中点，则1A B EG P ，故1A BGE 四点共面，且平面1A BGE ∥平面B 1HI ， 又B 1F ∥面A 1BE ，∴F 在线段HI 上，又1B B ⊥平面11CDD C ，∴11B FC ∠即为直线1B F 与平面11CDD C 所成的角，从而11111=B C B FC FC ∠， 故当1C F 最大时， 11B FC ∠的正切值最小。