2 I n 1
where
I = Index of dispersion (as defined in equation 4.3)
n = Number of quadrats counted = value of chi-squared with (n-1) degrees of
freedom.
2 （3）计算 c
3 E1 1602 1201.5 4
青灰色理论数
1 E2 1602 400.5 4
红色理论数

2 c i 1
2
O E
i
i
0.5
2
99 400.5 0.5
400.5
Ei
1503 1201.5 0.5 1201.5
m 其中，q 1 p, ( p - q) , m为总体平均值，p k
-k
展开上述式子，于是一个样本单位有r个个体的概率为
pr p ( k r 1) ! p r !( k 1) ! q k r s x 1, k p x
2
r
可以估算出p,k。矩法
• 由此可以推出
I v I 0, I<0, I>0, 1 m 随机分布 均匀分布 聚集分布
当种群由于随机死亡 原来 分之一时； 聚集度I 原来 分之一时
Index of Dispersion Test. We define an index of dispersion I to be
Observed variance s 2 I Observed mean x
The simplest view of spatial patterning can be obtained by adopting an individual orientation, and asking the question, Given the location of one individual, what is the probability that another individual is nearby? There are three possibilities: 1. This probability is increased—aggregated pattern 2. This probability is reduced—uniform pattern 3. This probability is unaffected—random pattern
Random
Aggregated
Uniform
Figure4.3 Three possible types of spatial patterning of individual animals or plant in a population.

• 3.频次分布理论公式 （1）泊松（普阿松）分布
observed chi-squared
2 0.025 39.36.
2 0.025
2 0.975 12.40;
所以，我们接受原假设：蚯蚓田间分布符合Poisson 分布。
3. Waters(1959)
• 提出 负二项分布中的K
m2 V m ; k 时， V=m, 负二项 泊松 k 个体分布呈完全随机性 当k 0时，V , 种群分布极不均匀，聚集度极高 1 k'= , 作为聚集度量 k

离散数据的 检验法
2
1989年，Pearson提出把 2作为一个度量 实际数（观察值）和预计数（理论值） 之间的偏离度的数据，其定义为
2 2 n ( 实际数 预计数） ( S i Y i ) 2 预计数 Yi i 1 i 1 n
要求各组内的预计数都不少于5，当某组的Y少 于5时，须把它和相邻的一组或几组合并直到Y 大于5，然后再用上式计算 x2值。
n*p0=408*0.5391=219.09 • 有一头虫的样本的理论数 n*p1=135.9
观察值与理论值比较
虫数 x 0 1 2 3 观察值 (o) 225 130 40 10 4 3 理论值(c) 219.9 135..9 42.2 8.7 1.3
(o c ) 2 c
0.11 0.26 0.09 0.21 2.22
种群的空间分布型及抽样
李典谟 中科院动物研究所 Email:lidm@ 2004年2月
(一）空间分布 型
• 1. 意义 种群生态特性：空间是聚集 分布还是 随机分布， 解 决抽样方法，提供理论依据。 • 2.分类 随机分布：泊松(Poisson)分布 聚集分布：负二项分布(negative binomial distribution) 奈曼分布(Neyman) 泊松二项分布
0.05
（2）计算检验统计量
（3）确定概率P值，计算自由度df＝k-1
2 由 和自由度查统计表 的临界值 , df
2
（4）判断结果
2 临界值检验假设的关系 2 值
2 < 0.05,
2 0.05,
P
>0.05
假设
不拒绝 H 0 拒绝 H 0
判断
差异无显著性 差异有显著性
df=5
2 （1） 分布于区间[1， ），偏斜度随自由度
2
降低而增大，当自由度df=1时，曲线以纵轴 为渐近线。
2
（2）随自由度df增大， 分布趋左右对称，当 2 df>30时， 分布接近正态。
3
2检验的基本步骤
（1）建立检验假设，确定检验水平。
H0 :
H1 :
1 2 1 2
m2 V m ; k V 方差, m 平均数; 当k , V m 负二项 泊松 当k 0, V
（二）分布型指数
1. Cs
2
x

2 ( x x ) i
x (n 1)
服从均数为1，方差为2n 的正态分布 (n-1)2 C的概率为95%的置信区间为 1 2 2n (n-1)2 C落入区间，随机型分布 C落入区间外，聚集型分布
k’的特性：当种群密度因为随机死亡而减小时，k’保 持不变，表示种群空间分布的内在特点，而与密度无 关
4. Tayloz (1961,1965,1978)方法
大量生物资料中总结出下列公式, log s 2 log a b log m s 2 a mb , Tayloz幂法则。当loga =0,b=1,s2 m, 种群在一切密度下随机分布， log a 0, b 1, s
例：取了25个样，调查蚯蚓的田间分布。 虫数
0 1 2 3 4
频率
4 8 2 5 2
5
6
3
1

n 25,
x 2.24
25
S 1.809
s 2 3.27 I 1.46 x 2.24 2 I n 1 1.46 25 1 35.0
由于

2 0.975
For the theoretical Poisson distribution, the variance equals the mean, so the expected value of I is always 1.0 in a Poisson world. The simplest test statistic for the index of dispersion is a chi-squared one:


2 ( o c ) 2 2.89 c
2.89

自由度=n-2=3，失去两个自由度 （1）用来限制实际样本数N (2) 用来估计
查 2 表得：
2 0.05 （自由度为3）=7.815
计算所得 2 2.89
2 2 0.05
意味不是一个小概率事件（p>0.05),没有 理由否定假设
k p(k , ) e , k 0,1, 2... k! 是参数
例：蝗蝻的田间分布
0
2 0 1 5 0 0 1
2
0 0 1 1 2
(1)普阿松分布（Poisson 分布）
p( k ; )
k
k!
e , k 0,1, 2.......

称为普阿松分布，是参数
例：对公共汽车客流进行调查，统计某天上午10∶30— 11∶47左右每隔20秒钟来到的乘客批数，共得到230个记录。
上述蝗蝻例子中
s 2 0.669 I 1.08 x 0.618 1 2 2n
2
n 1
1 2 816
165649
1 2 0.07 1 0.14
0.86 1.08 1.14
说明上述蝗蝻属Poisson分布。
2. David&Moore (1954)方法
0.05
例：假定某地婴儿出生的男女比例为1：1。
研究者抽取了一个含10，000名婴儿的样品，男 孩5100，女孩4900，问他是否证实了假设或否定了 H0 : 假设。
(5100 5000) 2 (4900 5000) 2 4 5000 5000
H0 :
H1 :
1 2 1 2
2
301.63
2 2 （4）差 值表。df=1时， 0.05 3.84
c2
2 0.05,1
故否定 H 0，接受 H A
即鲤鱼体色 F2 分离不符合3：1比率。
（2）负二项分布
• 正二项分布是( p+q)n 的展开式的各项,其中n为个体总数， p,q为分成对比两类期望的比例。[Student (1907).]