我们的注意力应首先集中于数学模型中各个量的
生物学意义，而不是其数学推导细节，否则就会
出现只见“数目” ，不见“森林”的危险。
一、种群的离散增长模型（差分方程）

增长率不变的离散增长模型

增长率随种群大小而变化的离散增长模型
（一）增长率不变的离散增长模型

模型的假设： 1）种群增长是无界的； 2）世代不重叠； 3）没有迁入、迁出； 4）没有年龄结构。
种群几何级数（指数）增长模型
N1 = N0 λ1; N2= N0λ N3 = N0 λ3
2
初始种群数 量
世代数
Nt＋1 = Ntλ
t+1世代的种 群数量
Nt = N0λ长率 (世代增长率)

模型的参数λ：
1： 种群上升；
λ>
λ
0
= 1：
种群稳定；
<λ< 1： 种群下降； 0： 种群在下一世代灭亡。
增长模型（微分方程）

增长率不变的连续增长模型

增长率随种群大小而变化的连续增长模型
增长率不变的连续增长模型

模型的假设：


1）种群增长是无界的；
2）世代有重叠，种群数量以连续的方式改变；


3）没有迁入、迁出；
4）没有年龄结构。
种群的指数增长模型
种群 变化率
瞬时增长率 初始时的种 群个体数量
瞬时增长率 (每员增长率)
为种群可利用的最大容纳量空间中还“剩余”的、可供种 群继续增长用的空间(或机会)。

对修正项（1－N/K）的分析

对修正项（1－N/K）的分析：

如果种群数量N趋于零，那么(1－N/K)项就逼近于1，这 表示几乎全部K空间尚末被利用，种群接近于指数增长， 或种群潜在的最大增长能充分地实现。 如果种群数量N趋向于K，那么(1－N/K)项就逼近于零， 这表示几乎全部K空间已被利用，种群潜在的最大增长不 能实现。 当种群数量N，由零逐渐地增加到K，(1－N/K)项则由1逐 渐地下降为零，这表示种群增长的“剩余空间”逐渐变小， 种群潜在最大增长的可实现程度逐渐降低；并且，种群数 量每增加一个个体，这种抑制性定量就是l/K。这种抑制 性影响称为拥挤效应或环境阻力。
第五章 种群增长
种群增长模型 自然种群数量变动 种群调节

思考题
种群数量在时间过程中的动态
第一节 种群增长模型

种群的离散增长模型（差分方程） 种群的连续增长模型（微分方程） 具时滞的种群增长模型

种群增长的随机模型

数学模型研究中，生态学工作者最感兴趣的不是
特定公式的数学细节，而是模型的结构，因此，
的空间，而可供继续增长的剩余空间就只有(1－N/K)了。
指数增长与逻辑斯谛增长之间的关系
1－ N /K
Nt 指数增长 K
逻辑斯谛增长
t
逻辑斯谛增长模型（微分方程）
种群 变化率
当比率增加时，种 群增长变慢
dN/dt=Nr(1-N/K)
种群个体 数量 瞬时增长率 环境容 纳量

逻辑斯谛方程生物学含义：

逻辑斯谛方程微分式的基本结构与指数增长方程相同，但
增加了一个修正项（1－N/K）。指数增长方程所描述的种 群增长是无界的，或可供种群不断增长的“空间”是无限 大的，是没有任何限制的。而修正项（1－N/K）所代表的 生物学含义是“剩余空间”(residual space)或称未利用的增
长机会(unutilized opportunity)。即：种群尚未利用的，或
dN/dt=rN
种群个体数量
Nt=N0ert
时间t处的种 群个体数 间隔或世 代长度

瞬时增长率r与周限增长率λ之间的关系
r=lnλ λ=er

模型的行为：
r r>0 r=0 r<0 r = －∞ λ λ> 1 λ= 1 0 <λ< 1 λ= 0 种群变化 种群上升 种群稳定 种群下降 种群灭亡
增长率随种群大小而变化的连续增长模型
λ=
（二）增长率随种群大小而变化的离散增长模型
模型的假设： 种群在有界的环境中增长，存 种 群 在一个平衡点(Neq)
λ
λ= 1.0－B(Nt－Neq)

增 由此平衡点每偏离1个个体，增 长 率
λep=1.0
长率λ 就减少或增加B倍。
平衡点
λ= 1.0－B(Nt －Neq)
种群密度N



种群增长率＝(种群潜在最大增长)×(最大增长可实现程度)
逻辑斯谛增长率变化曲线
dN/dt
dN/dt=Nr(1-N/K)
rK/4
0
k/2
K
N
逻辑斯谛增长曲线的五个时期
K
Nt
A 开始期 B 加速期 C 转捩期 D 减速期 E 饱和期

A
B
C
D
E
K/2
t
逻辑斯谛增长模型的评价

一定条件下，自然种群在短期中可以出现逻辑斯
谛增长，甚至指数增长；

逻辑斯谛增长以后，种群稳定在K值，对于这方
面，没有充分的证据。相反，种群达到K值后仍
有数量变动；

“J”型和“S”型种群增长只能代表2种典型情况；
提供了有关种群增长的某些机制；

没有考虑时滞对种群增长的影响 ；
逻辑斯缔方程的意义

它是两个相互作用种群增长模型的基础； 它是渔业、林业、农业等实践领域中确定 最大持续产量的主要模型；
——逻辑斯谛模型（Logistic model）

模型的假设： 存在一个环境条件所允许的最大种群值，称为环境容纳量
(K) 。

使种群增长率降低的影响是最简单的，即其影响随着密度 上升而逐渐地、按比例地增加。即，种群中每增加一个个 体就对增长率降低产生1/K的影响，或者说，每一个个体 利用了l/K的空间，若种群中有N个个体，就利用了N/K

模型中的两个参数K和r已成为生物进化对
策理论中的重要概念。
三、具时滞的种群增长模型

增长率随种群大小而变化的具时滞的 离散增长模型

增长率随种群大小而变化的具时滞的
连续增长模型
增长率随种群大小而变化的 具时滞的离散增长模型

模型的假设：

t世代的种群增长率不依赖于t世代的密度，而
依赖于（t－1）世代的密度。
数学模型：
Nt+1=λNt = [1.0－B(Nt－Neq)] Nt

模型行为（May, 1974）： 0< BNeq<1: 平滑趋向平衡点； 1< BNeq<2: 向平衡点逐渐减幅 振荡；

2<BNeq<2.57: 无限而稳定的周
期性振荡； BNeq>2.57: 无规则地混乱振荡。

二、种群的连续增长模型（微分方程）