T2
T1
v(t
)dt

s(T2
)

s(T1
)
s(t) v(t)
推广 一般情况下
F ( x) f ( x)
b
?
a f (x)dx F(b) F(a)
积分上限的函数
定义 设 f (x) C[a,b]
x
( x) a f (t)dt (a x b)
称为积分上限的函数.
刹车,
问从开始刹车到停车走了多少距离?
例7 求极限
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
应用
只要有函数的地方，就可以有积分上限函数的题目 只要是积分上限函数的题目，就应该考虑其导数
例8
求
lim
x0
1
第二讲 微积分基本公式
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
微积分基本公式
一、牛—莱公式及其应用 二、积分上限函数及其应用
物理事实 变速直线运动的路程
s(T1 )
T1
s(T2 ) s(T1 )
v T2 (t )dt T1
s(T2 )
T2
s s(t)
v v(t)
(b)

F
(a)
注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f (函)(b数 a)
F(导)(b数 a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
定f积(x分) dx a
F (b不)定 积F (分a)
牛—莱公式
定理2 如果函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，则函数
( x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数. a
性质
定理1 如果函数 f ( x)在区间[a, b]上连续,那么积分上限的函数
例1
( x) x f (t)dt 在[a, b]上可导，并且它的导数 a
(x) d
x
f (t)dt f (x) (a x b)
dx a
y
y f (x)
求
x
1 t 2dt
cos
x
e

t
2
dt
x2
.
x
tf (t)dt
例9
f (x) C[0,),
f (x) 0
证明
F(xБайду номын сангаас
0 x
在 [0,) 内单调增加.
0 f (t)dt
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
则
b
a
f
(x)
dx

F (b)

F (a)
注
牛顿 - 莱布尼茨公式
f ( )(b a) 微分学 F( )(b a)
积分
微分
中值定理
中值定理
牛—莱公式
b
f (x) dx 积分学F (b) F (a) a
例2 计算
例3 计算 1 dx. 2 x
例4
f
(
x)

x

sin
x
1
1 0

x x

0 1
例5 计算曲线y=sinx在[0,π]上
求
1
f (x)dx.
1
y y sin x
与x轴围成的平面图形的面积.
o
x
例6 汽车以每小时36km 的速度行驶 , 到某处需要减速
停车, 设汽车以等加速度
a

(x)
o a x b x
x x
牛—莱公式
定理2 如果函数 f ( x)在区间[a, b]上连续,那么函数
( x) x f (t)dt 就是f(x)在[a,b]上的一个原函数 a
定理3 如果函数F(x)为连续函数f(x)在[a,b]上的一个原函数
那么
b
a
f
(x)
dx

F